Mostre que a equação de Laplace em coordenadas cilíndricas é
u_{r r}+\frac{1}{r} u_{r}+\frac{1}{r^{2}} u_{\theta \theta}+u_{z z}=0
Sugestão: use x=r \cos \theta, y=r \operatorname{sen} \theta, z=z e a regra da cadeia.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z), a equação de Laplace
u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}=0
se transforma em
u_{rr} + \frac1r\,u_{r} + \frac1{r^{2}}\,u_{\theta\theta} + u_{zz} = 0.
O que vamos usar é a mudança de variáveis
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z=z
e a regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro computamos as derivadas de r e \theta em função de x,y:
\frac{\partial r}{\partial x} = \cos\theta,\quad \frac{\partial r}{\partial y} = \sin\theta,
\frac{\partial \theta}{\partial x} = -\frac{\sin\theta}{r},\quad \frac{\partial \theta}{\partial y} = \frac{\cos\theta}{r}.

Passo 3

Usando a regra da cadeia, obtemos
u_x = u_r\,\frac{\partial r}{\partial x} + u_{\theta}\,\frac{\partial \theta}{\partial x} = u_r\cos\theta - \frac{1}{r}\,u_{\theta}\sin\theta,
u_y = u_r\,\frac{\partial r}{\partial y} + u_{\theta}\,\frac{\partial \theta}{\partial y} = u_r\sin\theta + \frac{1}{r}\,u_{\theta}\cos\theta.

Passo 4

Agora diferenciamos de novo e somamos u_{xx}+u_{yy}. O resultado padrão (após agrupar termos em u_{rr}, u_r e u_{\theta\theta}) é
u_{xx}+u_{yy} = u_{rr} + \frac{1}{r}\,u_{r} + \frac{1}{r^{2}}\,u_{\theta\theta}.
Essa conta envolve derivar u_x e u_y usando novamente a regra da cadeia e notar que muitos termos se cancelam ou se combinam nesse formato.

Passo 5

Finalmente, como u_{zz} permanece o mesmo em qualquer sistema que preserve z, a equação de Laplace
u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}=0
fica
u_{rr} + \frac{1}{r}\,u_{r} + \frac{1}{r^{2}}\,u_{\theta\theta} + u_{zz} = 0.

Resposta

u_{rr} + \frac{1}{r}\,u_{r} + \frac{1}{r^{2}}\,u_{\theta\theta} + u_{zz} = 0.

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