Mostre que a equação de Laplace em coordenadas cilíndricas é
Sugestão: use
e a regra da cadeia.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em coordenadas cilíndricas
, a equação de Laplace
se transforma em
O que vamos usar é a mudança de variáveis
e a regra da cadeia para derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro computamos as derivadas de
e
em função de
:
Passo 3
Usando a regra da cadeia, obtemos
Passo 4
Agora diferenciamos de novo e somamos
. O resultado padrão (após agrupar termos em
,
e
) é
Essa conta envolve derivar
e
usando novamente a regra da cadeia e notar que muitos termos se cancelam ou se combinam nesse formato.
Passo 5
Finalmente, como
permanece o mesmo em qualquer sistema que preserve
, a equação de Laplace
fica