Faça a mudança de variáveis \xi=2 x-3 y, \eta=x+y na equação:
u_{x x}+u_{y y}=0 .

Passo 1

O enunciado pede que façamos a mudança de variáveis
\xi=2x-3y,\qquad \eta=x+y
na equação diferencial parcial
u_{x x}+u_{y y}=0.
Informações relevantes fornecidas:
\text{variáveis novas: }\xi=2x-3y,\quad \eta=x+y,á
\text{equação original: }u_{xx}+u_{yy}=0.çã
Vou considerar que a mesma função u pode ser vista como função de (\xi,\eta) pela relação u(x,y)=u(x(\xi,\eta),y(\xi,\eta)). Nas derivadas, usarei a notação u_{\xi}, u_{\eta}, u_{\xi\xi}, u_{\xi\eta} etc. para as derivadas parciais em relação às novas variáveis.

Passo 2

Vamos usar a regra da cadeia para derivadas parciais. A ideia é escrever os operadores \partial_x e \partial_y como combinações lineares de \partial_\xi e \partial_\eta. Em geral,
\partial_x=\xi_x\partial_\xi+\eta_x\partial_\eta,\qquad \partial_y=\xi_y\partial_\xi+\eta_y\partial_\eta,
onde \xi_x significa \partial \xi/\partial x, etc. Agora calculemos essas derivadas parciais das transformações dadas:
\xi_x=\frac{\partial}{\partial x}(2x-3y)=2,\quad \xi_y=\frac{\partial}{\partial y}(2x-3y)=-3,
\eta_x=\frac{\partial}{\partial x}(x+y)=1,\quad \eta_y=\frac{\partial}{\partial y}(x+y)=1.
Portanto os operadores são
\partial_x=2\partial_\xi+\partial_\eta,\qquad \partial_y=-3\partial_\xi+\partial_\eta.

Passo 3

Agora aplicamos esses operadores às derivadas de primeira ordem. Pela regra da cadeia,
u_x=(2\partial_\xi+\partial_\eta)u=2u_\xi+u_\eta,
u_y=(-3\partial_\xi+\partial_\eta)u=-3u_\xi+u_\eta.
Aqui u_\xi e u_\eta são as derivadas parciais de u em relação às novas variáveis \xi,\eta. Vale lembrar que, por regularidade, u_{\xi\eta}=u_{\eta\xi}.

Passo 4

Calculamos agora as segundas derivadas. Como os coeficientes dos operadores são constantes (a mudança é linear), basta aplicar novamente os operadores encontrados. Primeiro
u_{xx}=(2\partial_\xi+\partial_\eta)(u_x)=(2\partial_\xi+\partial_\eta)(2u_\xi+u_\eta).
Expandindo cada termo (usando linearidade e que \partial_\xi u_\xi=u_{\xi\xi}, \partial_\eta u_\xi=u_{\xi\eta}, etc.), obtemos
\begin{aligned} u_{xx}&=2\partial_\xi(2u_\xi+u_\eta)+\partial_\eta(2u_\xi+u_\eta)\\\ &=2(2u_{\xi\xi}+u_{\xi\eta})+(2u_{\xi\eta}+u_{\eta\eta})\\\ &=4u_{\xi\xi}+2u_{\xi\eta}+2u_{\xi\eta}+u_{\eta\eta}\\\ &=4u_{\xi\xi}+4u_{\xi\eta}+u_{\eta\eta}. \end{aligned}

Passo 5

Agora u_{yy}:
u_{yy}=(-3\partial_\xi+\partial_\eta)(u_y)=(-3\partial_\xi+\partial_\eta)(-3u_\xi+u_\eta).
Expandindo:
\begin{aligned} u_{yy}&=-3\partial_\xi(-3u_\xi+u_\eta)+\partial_\eta(-3u_\xi+u_\eta)\\\ &=-3(-3u_{\xi\xi}+u_{\xi\eta})+(-3u_{\xi\eta}+u_{\eta\eta})\\\ &=9u_{\xi\xi}-3u_{\xi\eta}-3u_{\xi\eta}+u_{\eta\eta}\\\ &=9u_{\xi\xi}-6u_{\xi\eta}+u_{\eta\eta}. \end{aligned}

Passo 6

Somamos u_{xx} e u_{yy} para transformar a equação original:
\begin{aligned} u_{xx}+u_{yy}&=(4u_{\xi\xi}+4u_{\xi\eta}+u_{\eta\eta})+(9u_{\xi\xi}-6u_{\xi\eta}+u_{\eta\eta})\\\ &=(4+9)u_{\xi\xi}+(4-6)u_{\xi\eta}+(1+1)u_{\eta\eta}\\\ &=13u_{\xi\xi}-2u_{\xi\eta}+2u_{\eta\eta}. \end{aligned}
Portanto a equação u_{xx}+u_{yy}=0 na nova coordenada (\xi,\eta) fica
13u_{\xi\xi}-2u_{\xi\eta}+2u_{\eta\eta}=0.

Resposta

13u_{\xi\xi}-2u_{\xi\eta}+2u_{\eta\eta}=0

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