Faça a mudança de variáveis
na equação:
Passo 1
O enunciado pede que façamos a mudança de variáveis
na equação diferencial parcial
Informações relevantes fornecidas:
Vou considerar que a mesma função
pode ser vista como função de
pela relação
. Nas derivadas, usarei a notação
,
,
,
etc. para as derivadas parciais em relação às novas variáveis.
Passo 2
Vamos usar a regra da cadeia para derivadas parciais. A ideia é escrever os operadores
e
como combinações lineares de
e
. Em geral,
onde
significa
, etc. Agora calculemos essas derivadas parciais das transformações dadas:
Portanto os operadores são
Passo 3
Agora aplicamos esses operadores às derivadas de primeira ordem. Pela regra da cadeia,
Aqui
e
são as derivadas parciais de
em relação às novas variáveis
. Vale lembrar que, por regularidade,
.
Passo 4
Calculamos agora as segundas derivadas. Como os coeficientes dos operadores são constantes (a mudança é linear), basta aplicar novamente os operadores encontrados. Primeiro
Expandindo cada termo (usando linearidade e que
,
, etc.), obtemos
Passo 5
Agora
:
Expandindo:
Passo 6
Somamos
e
para transformar a equação original:
Portanto a equação
na nova coordenada
fica