Encontre a solução da equação:
y^(4)+3 y^prime prime=x^2, y(0)=1, y^prime(0)=1, y^prime prime(0)=0, y^prime prime prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de 4º ordem com coeficientes constantes
y^(4) + 3y'' = x^2
com as condições iniciais
y(0)=1, y'(0)=1, y''(0)=0, y'''(0)=0
Conteúdo: método da solução complementar (sistema homogêneo) + particular (polinomial).

Passo 2

Para achar a solução complementar, montamos a equação característica associada
r^4 + 3r^2 = 0
que fatoriza em
r^2(r^2 + 3) = 0
Logo as raízes são
r = 0 ext (dupla), r = vert i oot3 elax vert = pm i,raiz3
Isso dá a solução homogênea
yh(x) = C1 + C2 x + C3,cos(raiz3x) + C4,sin(raiz3x)

Passo 3

Para achar uma solução particular, tentamos um polinômio de grau 4 (já que o lado direito é grau 2):
yp(x) = A x^4 + B x^2
Calculamos derivadas:
yp'' = 12A x^2 + 2B, yp^(4) = 24A
Então
L[yp] = yp^(4) + 3yp'' = 24A + 3(12A x^2 + 2B) = 24A + 36A x^2 + 6B
Queremos isso igual a x^2, ou seja:
Coeficiente de x^2: 36A = 1 A = 1/36
Termo constante: 24A + 6B = 0 6B = -24A B = -4A = -1/9
Logo
yp(x) = x^436 - x^29

Passo 4

A solução geral é
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1 + C2 x + C3,cos(raiz3x) + C4,sin(raiz3x) + x^436 - x^29

Passo 5

Agora aplicamos as condições iniciais. Primeiro as derivadas:
y'(x) = C2 - raiz3,C3,sin(raiz3x) + raiz3,C4,cos(raiz3x) + 4x^336 - 2x9,
y''(x) = -3C3,cos(raiz3x) - 3C4,sin(raiz3x) + 12x^236 - 29,
y'''(x) = 3raiz3,C3,sin(raiz3x) - 3raiz3,C4,cos(raiz3x) + 24x36
Em x=0:
  • y(0)=1 C1 + C3 = 1
  • y'(0)=1 C2 + raiz3,C4 = 1
  • y''(0)=0 -3C3 - tfrac29 = 0 C3 = -2/27
  • y'''(0)=0 -3raiz3,C4 = 0 C4 = 0
Então
C2 = 1, C3 = -tfrac227, C4 = 0, C1 = 1 - C3 = 1 + tfrac227 = tfrac2927

Passo 6

Substituindo os coeficientes na solução geral, obtemos
y(x) = 2927 + x - 227,cos(raiz3x) + x^436 - x^29

Resposta

y(x) = tfrac2927 + x - tfrac227,cos(raiz3x) + tfracx^436 - tfracx^29

Exercícios relacionados