Trace o gráfico da equação em coordenadas retangulares.
x^3+y^2=16

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa traçar o gráfico da equação no sistema de coordenadas retangulares. Basicamente, isso envolve entender como as variáveis e se relacionam nessa equação e desenhar o gráfico correspondente. Para isso, vamos precisar usar conceitos de funções e gráficos, além de manipular a equação para facilitar o desenho.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar isolar uma das variáveis para entender melhor a relação entre y^2 = 16 - x^3 e y = pm raiz16 - x^3 . Vamos resolver a equação para :
Agora, para encontrar , precisamos tirar a raiz quadrada de ambos os lados:
Isso nos mostra que para cada valor de , existem dois valores de (positivo e negativo), desde que seja não negativo.

Passo 3

Vamos determinar para quais valores de 16 - x^3 >= 0 implies x^3 <= 16 implies x <= raiz[3]16 approx 2.52 a expressão dentro da raiz quadrada é não negativa:
Isso significa que o gráfico existe apenas para valores de menores ou iguais a aproximadamente 2.52.

Passo 4

Agora, vamos criar uma tabela de valores para e calcular os correspondentes valores de . Vamos escolher alguns valores de dentro do intervalo válido e calcular :
0
1
2
2.5

Passo 5

Com esses pontos, podemos começar a esboçar o gráfico. Vamos plotar cada par no sistema de coordenadas:
  • Para : e
  • Para : e
  • Para : e
  • Para : e
Além disso, como pode ser menor que 0, podemos escolher alguns valores negativos de para completar o gráfico.

Passo 6

Depois de plotar todos esses pontos, conectamos eles suavemente. Observamos que o gráfico terá uma forma semelhante a duas curvas que se aproximam do eixo conforme diminui, e se estendem para a direita até , onde se aproxima de zero.

Resposta

O gráfico da equação consiste em duas curvas simétricas em relação ao eixo , definidas para . Essas curvas se estendem do ponto e até se aproximarem do eixo em , formando uma espécie de “S” horizontal.

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