Resolva a equação:
Passo 1
Temos a equação diferencial linear de quarta ordem não-homogênea
O conteúdo é equações lineares com coeficientes constantes e método da função de Green (ou convolução) para particular; vamos precisar achar a parte homogênea, a função de Green e ajustar as constantes com as condições iniciais.
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada
O polinômio característico é
com raízes
e
. Logo a solução geral homogênea é
Passo 3
Para a parte particular usamos a função de Green. No domínio causal temos
Assim a solução particular com condições nulas até a terceira derivada é a convolução
Passo 4
A solução geral é
Como definimos
com condições iniciais zero até a terceira derivada em
, cabem às constantes
satisfazer as condições do problema. Em
temos:
Passo 5
Resolvendo o sistema
temos
e
. E de
vem
e
.
Passo 6
Substituindo tudo, a solução final é
Resposta
y(x)=3\cos(\sqrt2 x)-\tfrac{1}{\sqrt2}\sin(\sqrt2 x)-2\cos(\sqrt3 x)+\tfrac{1}{\sqrt3}\sin(\sqrt3 x)+\int_{0}^{x}\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt2}\sin\bigl(\sqrt2(x-s)\bigr)-\tfrac{1}{\sqrt3}\sin\bigl(\sqrt3(x-s)\bigr)\Bigr)\tan(s),ds