Resolva a equação:
y^(4)+5 y^prime prime+6 y=tan (x), y(0)=1, y^prime(0)=0, y^prime prime(0)=0, y^prime prime prime(0)=1

Passo 1

Temos a equação diferencial linear de quarta ordem não-homogênea
y^(4)+5y''+6y=tan(x), y(0)=1, y'(0)=0, y''(0)=0, y'''(0)=1
O conteúdo é equações lineares com coeficientes constantes e método da função de Green (ou convolução) para particular; vamos precisar achar a parte homogênea, a função de Green e ajustar as constantes com as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada
y^(4)+5y''+6y=0
O polinômio característico é
r^4+5r^2+6=(r^2+2)(r^2+3)=0,
com raízes r=pm iraiz2 e r=pm iraiz3. Logo a solução geral homogênea é
yh=C1cos(raiz2 x)+C2sin(raiz2 x)+C3cos(raiz3 x)+C4sin(raiz3 x)

Passo 3

Para a parte particular usamos a função de Green. No domínio causal temos
G(x)= L^-1l1s^4+5s^2+6r = L^-1l1(s^2+2)(s^2+3)r =1raiz2sin(raiz2 x)-1raiz3sin(raiz3 x)
Assim a solução particular com condições nulas até a terceira derivada é a convolução
yp(x)=integral0^xG(x-s)tan(s),ds =integral0^xl(1raiz2sinl(raiz2(x-s)r)-1raiz3sinl(raiz3(x-s)r)r)tan(s),ds

Passo 4

A solução geral é
y(x)=yh(x)+yp(x)
Como definimos yp com condições iniciais zero até a terceira derivada em x=0, cabem às constantes C1,C2,C3,C4 satisfazer as condições do problema. Em x=0 temos:
y(0)=C1+C3=1, y'(0)=raiz2,C2+raiz3,C4=0, y''(0)=-2C1-3C3=0, y'''(0)=2raiz2,C2+3raiz3,C4=1

Passo 5

Resolvendo o sistema
C1+C3=1, 2C1+3C3=0,
temos C1=3 e C3=-2. E de
raiz2,C2+raiz3,C4=0, 2raiz2,C2+3raiz3,C4=1,
vem C2=-1/raiz2 e C4=1/raiz3.

Passo 6

Substituindo tudo, a solução final é
y(x)=3cos(raiz2 x)-1raiz2sin(raiz2 x)-2cos(raiz3 x)+1raiz3sin(raiz3 x) +integral0^xl(1raiz2sinl(raiz2(x-s)r)-1raiz3sinl(raiz3(x-s)r)r)tan(s),ds

Resposta

y(x)=3\cos(\sqrt2 x)-\tfrac{1}{\sqrt2}\sin(\sqrt2 x)-2\cos(\sqrt3 x)+\tfrac{1}{\sqrt3}\sin(\sqrt3 x)+\int_{0}^{x}\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt2}\sin\bigl(\sqrt2(x-s)\bigr)-\tfrac{1}{\sqrt3}\sin\bigl(\sqrt3(x-s)\bigr)\Bigr)\tan(s),ds

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