Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial e elabore um gráfico da função resposta obtida:
y^prime+(2 / t) y=(cos t) / t^2 y(pi)=0, t>0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem com uma condição inicial:
y' + 2t y = cos tt^2 com y(pi) = 0, t > 0
Vamos precisar usar o método do fator integrante para resolver essa equação. Esse método é útil para resolver equações diferenciais lineares da forma $ y’ + P(t)y = Q(t) $.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar $ P(t) $ e $ Q(t) $ na nossa equação:
P(t)
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é dado por:
Q(t)
Vamos calcular a integral de $ P(t) $:
P(t) = 2t e Q(t) = cos tt^2
Então, o fator integrante é:
mu(t) = e^integral P(t) dt

Passo 3

Agora, multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante $ \mu(t) = t^{2} $:
mu(t) = t^2
Simplificando cada termo:
t^2 y' + t^2 cdot 2t y = t^2 cdot cos tt^2
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto $ \mu(t) y $, ou seja:
t^2 y' + 2t y = cos t

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar $ t^{2} y $:
t^2 y
Integrando:
integral ddt (t^2 y) dt = integral cos t , dt
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 5

Agora, isolamos $ y $ dividindo ambos os lados por $ t^{2} $:
y

Passo 6

Vamos aplicar a condição inicial $ y(\pi) = 0 $ para encontrar o valor de $ C $:
y(pi) = 0
Sabemos que $ \sin \pi = 0 $, então:
C

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
y(t) = sin tt^2
Além disso, o gráfico dessa função mostra que $ y(t) $ oscila suavemente devido ao $ \sin t $ e decai em amplitude conforme $ t $ aumenta, já que está dividido por $ t^{2} $.

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