Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial e elabore um gráfico da função resposta obtida:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem com uma condição inicial:
Vamos precisar usar o método do fator integrante para resolver essa equação. Esse método é útil para resolver equações diferenciais lineares da forma $ y’ + P(t)y = Q(t) $.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar $ P(t) $ e $ Q(t) $ na nossa equação:
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é dado por:
Vamos calcular a integral de $ P(t) $:
Então, o fator integrante é:
Passo 3
Agora, multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante $ \mu(t) = t^{2} $:
Simplificando cada termo:
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto $ \mu(t) y $, ou seja:
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar $ t^{2} y $:
Integrando:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 5
Agora, isolamos $ y $ dividindo ambos os lados por $ t^{2} $:
Passo 6
Vamos aplicar a condição inicial $ y(\pi) = 0 $ para encontrar o valor de $ C $:
Sabemos que $ \sin \pi = 0 $, então:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
Além disso, o gráfico dessa função mostra que $ y(t) $ oscila suavemente devido ao $ \sin t $ e decai em amplitude conforme $ t $ aumenta, já que está dividido por $ t^{2} $.