Resolva a equação diferencial:
Utilize o método de variação de parâmetros.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO linear de segunda ordem não-homogênea
usando o método de variação de parâmetros. Vamos precisar encontrar a solução geral da homogênea, depois um particular por variação de parâmetros e, por fim, ajustar as constantes com as condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada
A equação característica é
$$r^2 + 3r + 2 = 0 \implies (r+1)(r+2)=0 \implies r = -1,,-2.
$$
Logo, uma base de soluções da homogênea é
Passo 3
Agora aplicamos variação de parâmetros. O Wronskiano de
é
Definimos
g(x)=e^-x (termo não-homogêneo) e calculamos
$$u_1’ = -\frac{y_2 ,g}{W} = -\frac{e^{-2x} e{-x}}{-e{-3x}} = 1,\quad u_2’ = \frac{y_1 ,g}{W} = \frac{e^{-x} e{-x}}{-e{-3x}} = -e^{x}.
$$
Integramos:
Passo 4
A solução particular fica
$$y_p = u_1 y_1 + u_2 y_2 = x e^{-x} - e^{x} e^{-2x} = (x-1)e^{-x}.
$$
Portanto a solução geral é
$$y(x) = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x} + (x-1)e^{-x}.
$$
Passo 5
Usamos as condições iniciais para achar
C1, C2 . Primeiro
$$y(0) = (C_1 + 0 -1) + C_2 = 1 \implies C_1 + C_2 = 2.
$$
Em seguida derivamos
Logo
$$y’(0) = (1 - (C_1 -1)) -2C_2 = 0 \implies -C_1 +2 -2C_2 = 0 \implies C_1 +2C_2 = 2.
$$
Solução do sistema
$$
y'(x) = ddxl[(C1 + x -1)e^-x + C2 e^-2xr] = e^-x - (C1 + x -1)e^-x -2C2 e^-2x \implies C_2=0,;C_1=2.
$$
Passo 6
Substituindo
C1=2, C2=0 na geral, obtemos
$$y(x) = 2e^{-x} + (x-1)e^{-x} = (x+1)e^{-x}.
$$