Resolva a equação diferencial:
y^prime prime+3 y^prime+2 y=e^-x, y(0)=1, y^prime(0)=0
Utilize o método de variação de parâmetros.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de segunda ordem não-homogênea
y'' + 3y' + 2y = e^-x, y(0)=1,;y'(0)=0
usando o método de variação de parâmetros. Vamos precisar encontrar a solução geral da homogênea, depois um particular por variação de parâmetros e, por fim, ajustar as constantes com as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada
y'' + 3y' + 2y = 0
A equação característica é
$$r^2 + 3r + 2 = 0 \implies (r+1)(r+2)=0 \implies r = -1,,-2.
$$
Logo, uma base de soluções da homogênea é
r^2 + 3r + 2 = 0 implies (r+1)(r+2)=0 implies r = -1,,-2

Passo 3

Agora aplicamos variação de parâmetros. O Wronskiano de y1,y2 é
W = y1 & y2 y1' & y2' = e^-x(-2e^-2x) - (-e^-x)(e^-2x) = -e^-3x
Definimos g(x)=e^-x (termo não-homogêneo) e calculamos
$$u_1’ = -\frac{y_2 ,g}{W} = -\frac{e^{-2x} e{-x}}{-e{-3x}} = 1,\quad u_2’ = \frac{y_1 ,g}{W} = \frac{e^{-x} e{-x}}{-e{-3x}} = -e^{x}.
$$
Integramos:
u1' = -y2 ,gW = -e^-2x e^-x-e^-3x = 1, u2' = y1 ,gW = e^-x e^-x-e^-3x = -e^x

Passo 4

A solução particular fica
$$y_p = u_1 y_1 + u_2 y_2 = x e^{-x} - e^{x} e^{-2x} = (x-1)e^{-x}.
$$
Portanto a solução geral é
$$y(x) = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x} + (x-1)e^{-x}.
$$

Passo 5

Usamos as condições iniciais para achar C1, C2. Primeiro
$$y(0) = (C_1 + 0 -1) + C_2 = 1 \implies C_1 + C_2 = 2.
$$
Em seguida derivamos
y(0) = (C1 + 0 -1) + C2 = 1 implies C1 + C2 = 2
Logo
$$y’(0) = (1 - (C_1 -1)) -2C_2 = 0 \implies -C_1 +2 -2C_2 = 0 \implies C_1 +2C_2 = 2.
$$
Solução do sistema
$$ y'(x) = ddxl[(C1 + x -1)e^-x + C2 e^-2xr] = e^-x - (C1 + x -1)e^-x -2C2 e^-2x \implies C_2=0,;C_1=2.
$$

Passo 6

Substituindo C1=2, C2=0 na geral, obtemos
$$y(x) = 2e^{-x} + (x-1)e^{-x} = (x+1)e^{-x}.
$$

Resposta

y(x) = (x+1)e^-x

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