Encontre a solução das equações de Euler:
t^2 y^prime prime+5 t y^prime+4 y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de Euler
t^2y'' + 5t,y' + 4y = 0
Esse tipo de equação é resolvido tentando uma solução do tipo y = t^m.

Passo 2

Seja y = t^m. Então
y' = m,t^m-1, y'' = m(m-1),t^m-2
Substituindo na equação, obtemos
t^2l(m(m-1)t^m-2r) ;+; 5tl(m,t^m-1r) ;+; 4,t^m = t^ml[m(m-1)+5m+4r] = 0
O que leva ao polinômio indicial
m(m-1) + 5m + 4 = m^2 + 4m + 4 = 0

Passo 3

Resolvendo
m^2 + 4m + 4 = 0
temos
(m + 2)^2 = 0 Longrightarrow m = -2
com multiplicidade 2.

Passo 4

Para raiz dupla m=-2, a solução geral é dada por
y(t) = C1,t^-2 ;+; C2,t^-2ln(t),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(t) = C1,t^-2 + C2,t^-2ln(t)

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