Mostre que as funções abaixo satisfazem as condições do teorema de Fubini. O que impede que o teorema seja utilizado para calcular as integrais duplas?
f(x, y)=e^-x^2-y^2, Q=[a, b] times[c, d].

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=e^-x^2-y^2
definida no retângulo
Q=[a,b]times[c,d]
O que precisamos mostrar é que f satisfaz as hipóteses do Teorema de Fubini (continuidade e integrabilidade absoluta em Q) e, em seguida, entender por que não podemos usar esse teorema para obter uma expressão fechada para
integral duplaQf(x,y),dx,dy

Passo 2

Mostramos primeiro que f é contínua em Q. Como a função exponencial e as funções polinomiais são contínuas em todo R, a composição
(x,y)mapsto -x^2-y^2mapsto e^-x^2-y^2
é contínua em R^2, logo em Q. Uma função contínua num conjunto compacto [a,b]times[c,d] é Riemann-integrável.

Passo 3

Para aplicar o Teorema de Fubini precisamos também de integrabilidade absoluta, isto é,
integral duplaQl|f(x,y)r|,dx,dy<infty
Mas l|f(x,y)r|=e^-x^2-y^2 é limitada em Q e Q tem medida (b-a)(d-c)<infty. Logo
0<= integral duplaQe^-x^2-y^2,dx,dy<= (b-a)(d-c)maxQe^-x^2-y^2<infty,
ou seja, f é absolutamente integrável. Assim, por Fubini,
integral duplaQe^-x^2-y^2,dx,dy =integralc^d!integrala^be^-x^2-y^2,dx,dy =integrala^b!integralc^de^-x^2-y^2,dy,dx

Passo 4

Embora o Teorema de Fubini nos autorize a trocar a ordem de integração, ao calcular cada integral interna nos deparamos com
integral e^-x^2,dx e integral e^-y^2,dy,
que não admitem primitiva em termos de funções elementares. A expressão fechada só existe via a função erro erf(t). Logo, não há como obter uma forma “simples” para a integral dupla sem recorrer à função de erro.

Resposta

As condições do Teorema de Fubini estão satisfeitas porque f é contínua em Q (logo Riemann-integrável) e absolutamente integrável. O impedimento para calcular explicitamente
integral duplaQe^-x^2-y^2,dx,dy
é que integral e^-t^2,dt não possui antiderivada elementar, sendo expressa apenas pela função erro erf(t).

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