Mostre que as funções abaixo satisfazem as condições do teorema de Fubini. O que impede que o teorema seja utilizado para calcular as integrais duplas? .
Passo 1
O enunciado nos dá a função
definida no retângulo
O que precisamos mostrar é que satisfaz as hipóteses do Teorema de Fubini (continuidade e integrabilidade absoluta em ) e, em seguida, entender por que não podemos usar esse teorema para obter uma expressão fechada para
Passo 2
Mostramos primeiro que é contínua em . Como a função exponencial e as funções polinomiais são contínuas em todo , a composição
é contínua em , logo em . Uma função contínua num conjunto compacto é Riemann-integrável.
Passo 3
Para aplicar o Teorema de Fubini precisamos também de integrabilidade absoluta, isto é,
Mas l|f(x,y)r|=e^-x^2-y^2 é limitada em Q e Q tem medida (b-a)(d-c)<infty. Logo
0<= integral duplaQe^-x^2-y^2,dx,dy<= (b-a)(d-c)maxQe^-x^2-y^2<infty,
ou seja, f é absolutamente integrável. Assim, por Fubini,
integral duplaQe^-x^2-y^2,dx,dy =integralc^d!integrala^be^-x^2-y^2,dx,dy =integrala^b!integralc^de^-x^2-y^2,dy,dx
Passo 4
Embora o Teorema de Fubini nos autorize a trocar a ordem de integração, ao calcular cada integral interna nos deparamos com
integral e^-x^2,dx e integral e^-y^2,dy,
que não admitem primitiva em termos de funções elementares. A expressão fechada só existe via a função erro erf(t). Logo, não há como obter uma forma “simples” para a integral dupla sem recorrer à função de erro.
Resposta
As condições do Teorema de Fubini estão satisfeitas porque f é contínua em Q (logo Riemann-integrável) e absolutamente integrável. O impedimento para calcular explicitamente
integral duplaQe^-x^2-y^2,dx,dy
é que integral e^-t^2,dt não possui antiderivada elementar, sendo expressa apenas pela função erro erf(t).