Mostre que as funções abaixo satisfazem as condições do teorema de Fubini. O que impede que o teorema seja utilizado para calcular as integrais duplas?
f(x, y)=e^x y cos (x), Q=[0, pi2] times[-1,1].

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=e^x ycos(x)
definida no retângulo
Q=l[0,tfracpi2r]times[-1,1]
O conteúdo aqui é o Teorema de Fubini para integrais duplas de funções contínuas (logo integráveis). Vamos precisar usar que toda função contínua em conjunto compacto é integrável e que, se lvert frvert também for integrável, a integral é absolutamente convergente, garantindo as hipóteses do teorema de Fubini.

Passo 2

Mostramos que f é contínua em Q. De fato, xmapsto e^xy e xmapstocos(x) são contínuas em l[0,tfracpi2r] para cada y, e similarmente em y. Como produto de contínuas, f é contínua em todo Q. Por ser contínua em compacto, f é (Riemann-)integrável em Q.

Passo 3

Verificamos a integrabilidade de lvert frvert.
lvert f(x,y)rvert =llvert e^xycos(x)rrvert =e^x y,lvertcos(x)rvert <= e^xlvert yrvertcdot1 <= e^(pi/2)cdot1 =e^pi/2,
uma função constante em Q. Sendo contínua, lvert frvert também é integrável. Logo integral duplaQlvert frvert<infty, ou seja, a integral dupla de f converge absolutamente.

Passo 4

Pelas hipóteses de Fubini (integrabilidade de f e de lvert frvert em Q), podemos trocar a ordem de integração e escrever
integral duplaQf(x,y),dx,dy =integral0^pi/2!!l(integral-1^1e^xycos(x),dyr)dx =integral-1^1!!l(integral0^pi/2e^xycos(x),dxr)dy

Passo 5

Embora o Teorema de Fubini se aplique sem restrições, as integrais iteradas
integral-1^1!l(integral0^pi/2e^xycos(x),dxr)dy e integral0^pi/2!l(integral-1^1e^xycos(x),dyr)dx
levam a funções cujo antiderivado não pode ser expresso em funções elementares simples (aparecem termos como e^x(y+i)y+i ou e^xycos xx que não têm primitiva elementar).
Por isso, na prática, não conseguimos calcular a integral dupla em forma fechada apenas trocando a ordem de integração e encontrando primitivas elementares.

Resposta

As hipóteses do Teorema de Fubini estão satisfeitas (continuidade em compacto e integrabilidade absoluta), mas o que impede o uso prático para calcular a integral dupla é que as integrais iteradas de e^xycos(x) não admitem primitivas em termos de funções elementares conhecidas.

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