Mostre que as funções abaixo satisfazem as condições do teorema de Fubini. O que impede que o teorema seja utilizado para calcular as integrais duplas? .
Passo 1
O enunciado nos dá a função
definida no retângulo
O conteúdo aqui é o Teorema de Fubini para integrais duplas de funções contínuas (logo integráveis). Vamos precisar usar que toda função contínua em conjunto compacto é integrável e que, se também for integrável, a integral é absolutamente convergente, garantindo as hipóteses do teorema de Fubini.
Passo 2
Mostramos que é contínua em . De fato, e são contínuas em para cada , e similarmente em . Como produto de contínuas, é contínua em todo . Por ser contínua em compacto, é (Riemann-)integrável em .
Passo 3
Verificamos a integrabilidade de .
uma função constante em Q. Sendo contínua, lvert frvert também é integrável. Logo integral duplaQlvert frvert<infty, ou seja, a integral dupla de f converge absolutamente.
Passo 4
Pelas hipóteses de Fubini (integrabilidade de f e de lvert frvert em Q), podemos trocar a ordem de integração e escrever
integral duplaQf(x,y),dx,dy =integral0^pi/2!!l(integral-1^1e^xycos(x),dyr)dx =integral-1^1!!l(integral0^pi/2e^xycos(x),dxr)dy
Passo 5
Embora o Teorema de Fubini se aplique sem restrições, as integrais iteradas
integral-1^1!l(integral0^pi/2e^xycos(x),dxr)dy e integral0^pi/2!l(integral-1^1e^xycos(x),dyr)dx
levam a funções cujo antiderivado não pode ser expresso em funções elementares simples (aparecem termos como e^x(y+i)y+i ou e^xycos xx que não têm primitiva elementar).
Por isso, na prática, não conseguimos calcular a integral dupla em forma fechada apenas trocando a ordem de integração e encontrando primitivas elementares.
Resposta
As hipóteses do Teorema de Fubini estão satisfeitas (continuidade em compacto e integrabilidade absoluta), mas o que impede o uso prático para calcular a integral dupla é que as integrais iteradas de e^xycos(x) não admitem primitivas em termos de funções elementares conhecidas.