Encontre a solução das equações em série de potencias:
.
Passo 1
O enunciado pede a solução em série de potências centrada em
da equação
O conteúdo é desenvolvimento em série de potências para EDOs lineares. Vamos assumir uma série para
, obter uma relação de recorrência para os coeficientes e identificar duas constantes arbitrárias (solução geral
homogênea
particular).
Passo 2
Assumimos
Então
e
onde entendemos
para
.
Passo 3
Substituindo na EDO:
Chamando de
o coeficiente do termo
à direita, temos
Passo 4
Comparando coeficientes de
, obtemos para todo
:
ou seja a relação de recorrência
Passo 5
Para
a parcela
. Logo
Devido à recorrência, os dois primeiros coeficientes
e
são livres (constantes de integração). Para
e
obtemos
Passo 6
Calculando alguns termos a mais:
para ,
para ,
para ,
para , e assim por diante.
para
para
para
para
Dessa forma a solução geral é
onde a parte particular (tomando
) vale
Resposta
A solução em série de potências centrada em
fica
com
e
constantes arbitrárias, e recorrência geral