Encontre a solução das equações em série de potencias:
y^prime prime-t^3 y=1+t.

Passo 1

O enunciado pede a solução em série de potências centrada em t=0 da equação
y'' - t^3,y = 1 + t
O conteúdo é desenvolvimento em série de potências para EDOs lineares. Vamos assumir uma série para y, obter uma relação de recorrência para os coeficientes e identificar duas constantes arbitrárias (solução geral = homogênea + particular).

Passo 2

Assumimos
y(t)=sumn=0^inftyan,t^n
Então
y''(t)=sumn=0^infty(n+2)(n+1),an+2,t^n,
e
t^3,y(t)=sumn=0^inftyan,t^n+3 =sumn=3^inftyan-3,t^n =sumn=0^inftyan-3,t^n,
onde entendemos ak=0 para k<0.

Passo 3

Substituindo na EDO:
sumn=0^inftyl[(n+2)(n+1),an+2-an-3r]t^n =;1;+;t
Chamando de bn o coeficiente do termo t^n à direita, temos
b0=1, b1=1, bn=0 (n>=2)

Passo 4

Comparando coeficientes de t^n, obtemos para todo n>=0:
(n+2)(n+1),an+2-an-3=bn,
ou seja a relação de recorrência
an+2=an-3+bn(n+2)(n+1)

Passo 5

Para n=0,1,2 a parcela an-3=0. Logo
2cdot1,a2 = b0=1 Longrightarrow a2=tfrac12,
3cdot2,a3 = b1=1 Longrightarrow a3=tfrac16,
4cdot3,a4 = b2=0 Longrightarrow a4=0
Devido à recorrência, os dois primeiros coeficientes a0 e a1 são livres (constantes de integração). Para n>=3 e bn=0 obtemos
an+2=an-3(n+2)(n+1)

Passo 6

Calculando alguns termos a mais:
para n=3 ;Rightarrow 20,a5 = a0 :Longrightarrow:a5=tfraca020,
para n=4 ;Rightarrow 30,a6 = a1 :Longrightarrow:a6=tfraca130,
para n=5 ;Rightarrow 42,a7 = a2=tfrac12 :Longrightarrow:a7=tfrac184,
para n=6 ;Rightarrow 56,a8 = a3=tfrac16 :Longrightarrow:a8=tfrac1336, e assim por diante.
Dessa forma a solução geral é
y(t)=a0l[1 + t^520 + t^1020cdot90 + cdotsr] ;+; a1l[t + t^630 + t^1130cdot110 + cdotsr] ;+; yp(t),
onde a parte particular (tomando a0=a1=0) vale
yp(t)=t^22+t^36+t^784+t^8336+cdots

Resposta

A solução em série de potências centrada em 0 fica
y(t)=C1l[1 + tfract^520 + tfract^101800 + cdotsr] + C2l[t + tfract^630 + tfract^113300 + cdotsr] + l[tfract^22+tfract^36+tfract^784+tfract^8336+cdotsr],
com C1=a0 e C2=a1 constantes arbitrárias, e recorrência geral
an+2=an-3(n+2)(n+1), a2=tfrac12,;a3=tfrac16,;a4=0

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