Encontre a solução das equações em série de potencias:
;
Passo 1
O enunciado pede a solução em série de potências da equação
em torno de
. Vamos assumir uma série
e encontrar uma relação recursiva para os coeficientes
.
Passo 2
Escrevendo as derivadas de
:
Passo 3
Substituindo na EDO:
Renomeando índices no primeiro somatório com
e no segundo com
, obtemos
Passo 4
Para que a soma seja zero para todo
, igualamos coeficientes de
:
- Para
:
- Para
:
Mudando de volta para o índice
, temos a relação
com
.
Passo 5
Há duas constantes livres
e
, dando duas soluções independentes:
(i) ,
gera
(i)
com
Logo
(ii)
,
gera
com
Logo
Resposta
A solução geral em série de potências é
onde
e
são constantes arbitrárias.