Encontre a solução das equações em série de potencias:
y^prime prime-t^3 y=0;

Passo 1

O enunciado pede a solução em série de potências da equação
y'' - t^3y = 0
em torno de t=0. Vamos assumir uma série
y(t)=sumn=0^inftyant^n
e encontrar uma relação recursiva para os coeficientes an.

Passo 2

Escrevendo as derivadas de y:
y'(t)=sumn=1^inftyn,ant^n-1, y''(t)=sumn=2^inftyn(n-1),ant^n-2

Passo 3

Substituindo na EDO:
sumn=2^inftyn(n-1),ant^n-2 ;-; sumn=0^inftyant^n+3 ;=;0
Renomeando índices no primeiro somatório com m=n-2 e no segundo com m=n+3, obtemos
summ=0^infty(m+2)(m+1),am+2,t^m ;-; summ=3^inftyam-3,t^m ;=;0

Passo 4

Para que a soma seja zero para todo m, igualamos coeficientes de t^m:
  • Para m=0,1,2:
(m+2)(m+1),am+2=0 ;implies; a2=a3=a4=0
  • Para m>=3:
(m+2)(m+1),am+2-am-3=0 ;implies; am+2=am-3(m+2)(m+1)
Mudando de volta para o índice n=m+2, temos a relação
an=an-5n(n-1), n>=5,
com a2=a3=a4=0.

Passo 5

Há duas constantes livres a0 e a1, dando duas soluções independentes:
(i) a0=1, a1=0 gera
y1(t)=1 +a51t^5 +a101t^10+cdots,
com
a5=a05cdot4=120, a10=a510cdot9=11800,;dots
Logo
y1(t)=1+t^520+t^101800+cdots
(ii) a0=0, a1=1 gera
y2(t)=t +a61t^6 +a111t^11+cdots,
com
a6=a16cdot5=130, a11=a611cdot10=13300,;dots
Logo
y2(t)=t+t^630+t^113300+cdots

Resposta

A solução geral em série de potências é
y(t)=C1l(1+t^520+t^101800+cdotsr) + C2l(t+t^630+t^113300+cdotsr),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados