Encontre a solução do P.V.I.
y^prime prime-2 t y^prime+8 y=0, y(0)=3, y^prime(0)=0;

Passo 1

O enunciado pede a solução do P.V.I.
y'' - 2t,y' + 8y = 0, y(0)=3, y'(0)=0
Este é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes polinomiais (caso particular da equação de Hermite). Vamos buscar uma solução polinomial em t.

Passo 2

Suponha uma solução da forma
y(t)=a,t^4 + b,t^2 + c
Então
y'(t)=4a,t^3 + 2b,t, y''(t)=12a,t^2 + 2b
Substituindo na EDO:
y'' - 2t,y' + 8y = (12a,t^2 + 2b) -2t,(4a,t^3 + 2b,t) +8,(a,t^4 + b,t^2 + c)
Simplificando os termos em potências de t:
y'' - 2t,y' + 8y = (12a + 4b),t^2 + (2b + 8c)
Para anular para todo t, exigimos
12a + 4b = 0, 2b + 8c = 0

Passo 3

Resolva o sistema para b e c em função de a:
12a + 4b = 0 ;Rightarrow; b = -3a, 2b + 8c = 0 ;Rightarrow; c = -b4 = 3a4
Logo
y(t) = al(t^4 - 3t^2 + tfrac34r)

Passo 4

Aplique as condições iniciais:
y(0)=c = 3 ;Rightarrow; tfrac3a4 = 3 ;Rightarrow; a = 4
E
y'(0)=4acdot 0^3 + 2bcdot 0 = 0,
que já está satisfeito. Portanto
y(t) = 4l(t^4 - 3t^2 + tfrac34r) = 4t^4 - 12t^2 + 3

Resposta

y(t) = 4t^4 - 12t^2 + 3

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