Encontre a solução das equações em série de potencias:
;
Passo 1
Temos a equação
e queremos uma solução em série de potências centrada em
. O método consiste em assumir
calcular
e
, substituir na equação e igualar coeficientes de cada potência de
.
Passo 2
Escrevemos as derivadas em série, alinhando as potências de
:
Passo 3
Substituindo em
obtemos
Para igualar coeficientes de
vamos tratar
separadamente e depois
.
Passo 4
Coeficiente de
(
):
Para
a relação é
As constantes livres são
e
, que chamamos de
e
.
Passo 5
A recorrência liga índices com diferença 2, separando pares e ímpares:
– Índices pares:
. Como
dá a parte particular e
gera a parte homogênea constante, obtém-se
com
.
– Índices ímpares:
. Como
e pela recorrência homogênea, chega-se a
Assim a solução geral em série de potências é