Encontre a solução das equações em série de potencias:
y^prime prime-t y^prime=1;

Passo 1

Temos a equação
y'' - t,y' = 1
e queremos uma solução em série de potências centrada em t=0. O método consiste em assumir
y(t)=sumn=0^infty an,t^n,
calcular y' e y'', substituir na equação e igualar coeficientes de cada potência de t.

Passo 2

Escrevemos as derivadas em série, alinhando as potências de t^n:
y(t)=sumn=0^infty an,t^n
y'(t)=sumn=1^infty n,an,t^n-1 =sumn=0^infty (n+1),an+1,t^n
y''(t)=sumn=2^infty n(n-1),an,t^n-2 =sumn=0^infty (n+2)(n+1),an+2,t^n
t,y'(t) =sumn=0^infty (n+1),an+1,t^n+1 =sumn=1^infty n,an,t^n

Passo 3

Substituindo em y''-t,y'=1 obtemos
sumn=0^infty (n+2)(n+1),an+2,t^n ;-; sumn=1^infty n,an,t^n ;=; 1 + 0,t + 0,t^2 + cdots
Para igualar coeficientes de t^n vamos tratar n=0 separadamente e depois n>=1.

Passo 4

Coeficiente de t^0 ( n=0):
2cdot1;a2 = 1 Longrightarrow a2 = tfrac12
Para n>=1 a relação é
(n+2)(n+1),an+2 - n,an = 0 Longrightarrow an+2 = n(n+2)(n+1),an
As constantes livres são a0 e a1, que chamamos de C1 e C2.

Passo 5

A recorrência liga índices com diferença 2, separando pares e ímpares:
– Índices pares: n=2m. Como a2=tfrac12 dá a parte particular e a0=C1 gera a parte homogênea constante, obtém-se
a2m ;=; 2^m-1,(m-1)!(2m)! (m>=1),
com a0=C1.
– Índices ímpares: n=2m+1. Como a1=C2 e pela recorrência homogênea, chega-se a
a2m+1 =1(2m+1),2^m,m!;C2 (m>=0)
Assim a solução geral em série de potências é
y(t) = sumn=0^infty an,t^n = C1 + C2summ=0^infty t^2m+1(2m+1),2^m,m! +summ=1^infty 2^m-1(m-1)!(2m)!,t^2m

Resposta

y(t) = C1 + C2summ=0^infty t^2m+1(2m+1),2^m,m! +summ=1^infty 2^m-1(m-1)!(2m)!,t^2m

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