Encontre a solução das equações em série de potencias:
y^prime prime+t^2 y^prime+t y=0,

Passo 1

O enunciado pede a solução em série de potências da equação
y'' + t^2,y' + t,y = 0
O método consiste em assumir uma solução da forma
y(t)=sumn=0^inftyan,t^n,
calcular y' e y'', substituir na EDO e obter uma relação de recorrência entre os coeficientes an.

Passo 2

Escrevendo as derivadas em forma de séries centradas em t=0:
y(t)=sumn=0^inftyan,t^n, y'(t)=sumn=0^infty(n+1),an+1,t^n, y''(t)=sumn=0^infty(n+2)(n+1),an+2,t^n
Além disso,
t^2,y'=sumn=2^infty(n-1),an-1,t^n, t,y=sumn=1^inftyan-1,t^n
Substituindo em y''+t^2y'+ty=0 e reindexando tudo para potências t^n, obtemos
sumn=0^infty(n+2)(n+1),an+2,t^n +sumn=0^infty(n-1),an-1,t^n +sumn=0^inftyan-1,t^n =0

Passo 3

Igualando coeficientes de t^n a zero:
1. Para n=0:
2cdot1;a2=0 ;Longrightarrow; a2=0
2. Para n>=1:
(n+2)(n+1),an+2+(n-1),an-1+an-1=0 ;Longrightarrow; (n+2)(n+1),an+2+n,an-1=0,
ou seja
an+2=-n(n+2)(n+1),an-1,, n>=1

Passo 4

Como a2=0, segue que a5,a8,dots também serão zero. Logo, somente os índices n=3k e n=3k+1 podem dar coeficientes não nulos. Definimos então duas sequências:
  • bk=a3k, com b0=a0.
  • ck=a3k+1, com c0=a1.

Passo 5

Aplicando a recorrência em cada família:
Para bk (caso n+2=3k, i.e.\ n=3k-2):
bk = a3k =-3k-2(3k)(3k-1),a3k-3 =-3k-23k(3k-1),bk-1
Para ck (caso n+2=3k+1, i.e.\ n=3k-1):
ck = a3k+1 =-3k-1(3k+1)(3k),a3k-2 =-3k-13k(3k+1),ck-1
Portanto as duas soluções fundamentais em série são
y1(t)=sumk=0^inftybk,t^3k, y2(t)=sumk=0^inftyck,t^3k+1,
com b0=1, c0=1 (absorvendo a0 e a1 nas constantes de integração).

Resposta

A solução geral é
y(t)=C1,y1(t)+C2,y2(t),
onde
y1(t)=sumk=0^infty l(-1r)^k prodj=1^k3j-23j(3j-1);t^3k, y2(t)=sumk=0^infty l(-1r)^k prodj=1^k3j-13j(3j+1);t^3k+1

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