Encontre a solução das equações em série de potencias:
,
Passo 1
O enunciado pede a solução em série de potências da equação
O método consiste em assumir uma solução da forma
calcular
e
, substituir na EDO e obter uma relação de recorrência entre os coeficientes
.
Passo 2
Escrevendo as derivadas em forma de séries centradas em
:
Além disso,
Substituindo em
e reindexando tudo para potências
, obtemos
Passo 3
Igualando coeficientes de
a zero:
ou seja
Passo 4
Como
, segue que
também serão zero. Logo, somente os índices
e
podem dar coeficientes não nulos. Definimos então duas sequências:
-
, com . -
, com .
Passo 5
Aplicando a recorrência em cada família:
Para
(caso
, i.e.\
):
Para
(caso
, i.e.\
):
Portanto as duas soluções fundamentais em série são
com
,
(absorvendo
e
nas constantes de integração).
Resposta
A solução geral é
onde