Encontre a solução das equações em série de potencias:
y^prime-y=t^2;

Passo 1

O enunciado pede para resolver, em série de potências, a equação diferencial de primeira ordem
y'(t) - y(t) = t^2
O conteúdo é resolução de ODE linear não homogênea por séries de potências. Vamos supor
y(t)=sumn=0^inftyant^n
e obter coeficientes an via comparação de termos.

Passo 2

Calculemos a derivada em série:
y'(t)=sumn=1^inftyn,an,t^n-1 =sumn=0^infty(n+1),an+1,t^n
Então
y'(t)-y(t) =sumn=0^inftyl[(n+1)an+1-anr]t^n

Passo 3

Como y'(t)-y(t)=t^2, igualamos coeficiente a coeficiente:
(n+1),an+1-an= 1,&n=2, 0,&nneq2

Passo 4

Para nneq2 vale
an+1=ann+1,
cuja solução geral é
an=a0n!, nneq3
Para n=2 temos
3,a3-a2=1 Longrightarrow a3=a2+13 =a0/2+13 =a06+13
A partir de n=3 aplica-se de novo an+1=an/(n+1), gerando termos que combinam a parte homogênea sum a0t^n/n!=a0e^t e uma parte polinomial de grau 2.

Passo 5

Reconhecemos que a série geral se decompõe em
y(t)=a0,e^t;-;2;-;2t;-;t^2,
onde o polinômio -2-2t-t^2 é uma solução particular de y'-y=t^2 e a0e^t é a solução homogênea.

Resposta

boxedy(t)=C,e^t;-;t^2;-;2t;-;2,
com C constante arbitrária.

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