Encontre a solução das equações em série de potencias:
;
Passo 1
O enunciado pede para resolver, em série de potências, a equação diferencial de primeira ordem
O conteúdo é resolução de ODE linear não homogênea por séries de potências. Vamos supor
e obter coeficientes
via comparação de termos.
Passo 2
Calculemos a derivada em série:
Então
Passo 3
Como
, igualamos coeficiente a coeficiente:
Passo 4
Para
nneq2 vale
cuja solução geral é
Para
n=2 temos
A partir de
n=3 aplica-se de novo
an+1=an/(n+1) , gerando termos que combinam a parte homogênea
sum a0t^n/n!=a0e^t e uma parte polinomial de grau 2.
Passo 5
Reconhecemos que a série geral se decompõe em
onde o polinômio
-2-2t-t^2 é uma solução particular de
y'-y=t^2 e
a0e^t é a solução homogênea.
Resposta
com
C constante arbitrária.