Resolva a equação
L d id t+R i(t)+1C integral0^t i(tau) d tau=E(t)
sujeita a i(0)=0 e L, R e C dados:
L=0,005 h, R=1 Omega, C=0,02 f e E(t)=100[t-(t-1) U(t-1)]

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação integral
L,didt+R,i(t)+1Cintegral0^ti(tau),dtau = E(t)
com i(0)=0 e parâmetros
L=0,005, R=1, C=0,02, E(t)=100l[t-(t-1)U(t-1)r]
O conteúdo é o de circuitos RLC em série e transformamos essa equação integral numa EDO de segunda ordem diferenciando em t.

Passo 2

Diferenciando em
obtemos
Com , , e
temos
Logo a EDO fica
ou, dividindo por e, da equação original em ,

Passo 3

Para 0<= t<1 resolvemos
i''+200,i'+10,000,i=20,000
A homogênea tem raiz dupla
r^2+200r+10,000=0 ;Longrightarrow; r=-100(mu<iplicidade 2),
então
ih(t)=(A+Bt)e^-100t
Uma particular constante ip=K satisfaz
10,000,K=20,000 ;Longrightarrow; K=2
Assim
i(t)=2+(A+Bt)e^-100t
Impondo i(0)=0 e i'(0)=0:
i(0)=2+A=0;Rightarrow;A=-2,
i'(t)=l[B-100(A+Bt)r]e^-100t, i'(0)=(B-100A)=0 ;Rightarrow;B-100(-2)=0;Rightarrow;B=-200
Logo, para 0<= t<1,
boxedi1(t)=2+l(-2-200,tr)e^-100t

Passo 4

No instante t=1^- temos
i1(1)=2-202,e^-100, i1'(1)=20000,e^-100
Esses valores servem de condições iniciais para t>1.

Passo 5

Para t>1 a EDO é homogênea
i''+200,i'+10,000,i=0,
novamente com raiz dupla -100. Escrevemos
i(t)=(E+F,(t-1)),e^-100(t-1)
Em t=1 ( u=t-1=0) pedimos
E=i(1)=2-202,e^-100, i'(1)=l[F-100,Er]=20000,e^-100 ;Longrightarrow; F=20000,e^-100+100E=200-200,e^-100
Portanto, para t>=1,
boxed,i2(t)=l(2-202,e^-100+(200-200,e^-100)(t-1)r)e^-100(t-1),

Resposta

Para o circuito com i(0)=0:
i(t)= 2+l(-2-200,tr)e^-100t, & 0<= t<1,[6pt] l(2-202,e^-100+(200-200,e^-100)(t-1)r)e^-100(t-1), & t>=1 ]

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