Encontre a solução das equações em série de potencias:
y^prime prime-2 t y^prime+2 y=0, em torno de t0=1

Passo 1

O enunciado pede a solução em série de potências da equação diferencial
y'' - 2,t,y' + 2,y = 0
em torno de t0=1. Para isso, vamos fazer a mudança de variável x = t - 1 e procurar uma solução da forma
y(x) = sumn=0^infty an,x^n

Passo 2

Derivando termo a termo em relação a t (que coincide com x), temos
y'(x) = sumn=1^infty n,an,x^,n-1,
y''(x) = sumn=2^infty n(n-1),an,x^,n-2

Passo 3

Reescrevendo o termo -2,t,y' como -2(1+x),y' e alinhando as potências de x, obtemos
y'' - 2,t,y' + 2,y = sumk=0^infty[(k+2)(k+1)ak+2 -2(k+1)ak+1 +(2-2k),ak]x^k=0
Daí surge a relação de recorrência
(k+2)(k+1),ak+2 -2(k+1),ak+1 +(2-2k),ak =0,
ou seja
ak+2 =2(k+1),ak+1+2(k-1),ak(k+2)(k+1)

Passo 4

Vamos calcular os primeiros coeficientes em termos de a0 e a1:
Para k=0:
a2=2cdot1,a1+2(-1),a02cdot1 = a1-a0
Para k=1:
a3=2cdot2,a2+2cdot0,a13cdot2 =4,a26 =23a2 =23(a1-a0)
Para k=2:
a4 =2cdot3,a3+2cdot1,a24cdot3 =6,a3+2,a212 =12a3+16a2 =12cdot23(a1-a0)+16(a1-a0) =12(a1-a0)

Passo 5

As duas soluções fundamentais obtidas fixando (a0,a1)=(1,0) e (0,1) são
Para ;a0=1,;a1=0:
y1(x)=1+0cdot x +(-1)x^2 +l(-tfrac23r)x^3 +l(-tfrac12r)x^4+cdots =1 - x^2 -tfrac23x^3 -tfrac12 x^4 -cdots
Para ;a0=0,;a1=1:
y2(x)=0 +1cdot x +1cdot x^2 +tfrac23x^3 +tfrac12 x^4+cdots =x + x^2 +tfrac23x^3 +tfrac12 x^4 +cdots

Resposta

A solução geral em torno de t0=1 é
y(t)=C1,y1(t-1)+C2,y2(t-1),
onde
y1(x)=1 - x^2 -tfrac23x^3 -tfrac12 x^4 -cdots, y2(x)=x + x^2 +tfrac23x^3 +tfrac12 x^4 +cdots,
e x=t-1, com constantes arbitrárias C1,C2

Exercícios relacionados