Encontre a solução das equações em série de potencias:
, em torno de
Passo 1
O enunciado pede a solução em série de potências da equação diferencial
em torno de
. Para isso, vamos fazer a mudança de variável
e procurar uma solução da forma
Passo 2
Derivando termo a termo em relação a
(que coincide com
), temos
Passo 3
Reescrevendo o termo
como
e alinhando as potências de
, obtemos
Daí surge a relação de recorrência
ou seja
Passo 4
Vamos calcular os primeiros coeficientes em termos de
e
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 5
As duas soluções fundamentais obtidas fixando
e
são
Para
:
Para
:
Resposta
A solução geral em torno de
é
onde
e
, com constantes arbitrárias