Encontre a solução das equações em termos de logarítmos.
b)
b)
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede para encontrar a solução em termos de logaritmos.
Informações relevantes: a função exponencial é definida para todo
e é sempre positiva, então existe uma única solução real para
.
Informações relevantes: a função exponencial
Passo 2
Ideia do método (explicação didática e motivação): quando temos uma incógnita no expoente, a maneira direta de “trazer” essa incógnita para fora do expoente é aplicar um logaritmo em ambos os lados da equação. O logaritmo natural
é a função inversa da exponencial base
, ou seja, para todo
vale
. Como
é uma função estritamente crescente e definida em
, podemos aplicar
em ambos os lados sem perder soluções.
Passo 3
Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da equação:
Agora uso a propriedade do logaritmo que diz que
. Aplicando com
e
obtemos
Como
(porque
é a base do
), isso simplifica para
Passo 4
Isolando
basta dividir ambos os lados por
:
Este já é o resultado em termos de logaritmos (usando o logaritmo natural).
Passo 5
Observação extra (opcional) — expressão em outra base: se você preferir usar logaritmo de base
(escrito
), use a fórmula de troca de base
. Como
, obtemos a forma equivalente
Passo 6
Pequeno reforço para a prova: padrão que aparece com frequência — para resolver
você sempre aplica
e obtém
, logo
. Exemplo rápido: resolver
dá
.