Encontre a solução das equações em termos de logarítmos.
b) e^{-5 x}=10

Passo 1

O enunciado dá a equação \displaystyle e^{-5 x}=10 e pede para encontrar a solução em termos de logaritmos.
Informações relevantes: a função exponencial e^t é definida para todo t\in\mathbb{R} e é sempre positiva, então existe uma única solução real para x.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática e motivação): quando temos uma incógnita no expoente, a maneira direta de “trazer” essa incógnita para fora do expoente é aplicar um logaritmo em ambos os lados da equação. O logaritmo natural \ln é a função inversa da exponencial base e, ou seja, para todo y vale \ln(e^y)=y. Como \ln é uma função estritamente crescente e definida em (0,\infty), podemos aplicar \ln em ambos os lados sem perder soluções.

Passo 3

Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da equação:
\ln\bigl(e^{-5x}\bigr)=\ln(10).
Agora uso a propriedade do logaritmo que diz que \ln(a^b)=b\ln(a). Aplicando com a=e e b=-5x obtemos
-5x\cdot\ln(e)=\ln(10).
Como \ln(e)=1 (porque e é a base do \ln), isso simplifica para
-5x=\ln(10).

Passo 4

Isolando x basta dividir ambos os lados por -5:
x=-\dfrac{\ln(10)}{5}.
Este já é o resultado em termos de logaritmos (usando o logaritmo natural).

Passo 5

Observação extra (opcional) — expressão em outra base: se você preferir usar logaritmo de base 10 (escrito \log_{10}), use a fórmula de troca de base \ln(10)=\dfrac{\log_{10}(10)}{\log_{10}(e)}. Como \log_{10}(10)=1, obtemos a forma equivalente
x=-\dfrac{1}{5\log_{10}(e)}.

Passo 6

Pequeno reforço para a prova: padrão que aparece com frequência — para resolver \displaystyle e^{a x}=b você sempre aplica \ln e obtém a x=\ln b, logo x=\dfrac{\ln b}{a}. Exemplo rápido: resolver \displaystyle e^{2x}=3 x=\dfrac{\ln 3}{2}.

Resposta

x=-\dfrac{\ln(10)}{5}
x=-\dfrac{1}{5\log_{10}(e)}

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