Encontre o valor exato de:
k) \csc \left(\frac{7 \pi}{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede o valor exato de \csc\!\left(\frac{7\pi}{3}\right).
Informações dadas: o ângulo é \frac{7\pi}{3}. Queremos o valor exato (não decimal).

Passo 2

Lembrete importante (definição): \csc x = \dfrac{1}{\sin x}. Portanto primeiro vamos achar \sin\!\left(\frac{7\pi}{3}\right) e depois inverter.
Também usamos a periodicidade da função seno: \sin(x+2\pi)=\sin x. Como \frac{7\pi}{3} = 2\pi + \frac{\pi}{3} (porque 2\pi = \frac{6\pi}{3}), temos
\sin\!\left(\frac{7\pi}{3}\right)=\sin\!\left(\frac{\pi}{3}\right).

Passo 3

Agora calculamos \sin\!\left(\frac{\pi}{3}\right). Um jeito simples de lembrar é usar um triângulo equilátero de lado 2. Ao cortar ao meio obtemos um triângulo retângulo 30^\circ\!-\!60^\circ\!-\!90^\circ com hipotenusa 2, cateto oposto ao ângulo de 60^\circ igual à altura do equilátero, que vale \sqrt{3}. Então
\sin\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 4

Como \csc x=\dfrac{1}{\sin x}, temos
\csc\!\left(\frac{7\pi}{3}\right)=\frac{1}{\sin\!\left(\frac{7\pi}{3}\right)}=\frac{1}{\sin\!\left(\frac{\pi}{3}\right)}=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{3}}.

Passo 5

Normalmente preferimos racionalizar o denominador. Multiplicando numerador e denominador por \sqrt{3} obtemos
\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}.

Resposta

\dfrac{2\sqrt{3}}{3}

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