Encontre a solução de equilibro, faça um esboço do campo de direções e determine o comportamento das soluções quando t infty, dos itens a continuação:
y^prime=y^2-9.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo y^prime=y^2-9. Nossa missão aqui é encontrar as soluções de equilíbrio, dar uma olhada no campo de direções e entender como as soluções se comportam quando o tempo t vai para o infinito. Para resolver isso, vamos precisar saber um pouco sobre equações diferenciais de primeira ordem e como analisar seus comportamentos a longo prazo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as soluções de equilíbrio. Essas são as soluções onde y^prime = 0, ou seja, não mudam com o tempo. Então, vamos igualar a equação a zero:
y^2 - 9 = 0
Resolvendo para y:
y^2 = 9 y = pm 3
Então, temos duas soluções de equilíbrio: y = 3 e y = -3.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o campo de direções. Esse campo nos ajuda a visualizar como as soluções se comportam em torno das soluções de equilíbrio. Para cada valor de y, o sinal de y^prime nos diz se a solução está aumentando ou diminuindo.
Se y^prime = y^2 - 9:
  • Quando y > 3, y^2 - 9 > 0, então y^prime > 0 y está aumentando.
  • Quando -3 < y < 3, y^2 - 9 < 0, então y^prime < 0 y está diminuindo.
  • Quando y < -3, y^2 - 9 > 0, então y^prime > 0 y está aumentando.
Isso nos ajuda a desenhar o campo de direções: setas apontando para cima quando y^prime > 0 e para baixo quando y^prime < 0, especialmente em relação aos valores de y = 3 e y = -3.

Passo 4

Por último, vamos determinar o comportamento das soluções quando t infty.
  • Para y > 3: Como y^prime > 0, y continua aumentando sem limites. Então, y infty quando t infty.
  • Para -3 < y < 3: Aqui, y^prime < 0, então y diminui em direção a -3. Portanto, y -3 quando t infty.
  • Para y < -3: Com y^prime > 0, y aumenta em direção a -3. Assim, y -3 quando t infty.

Resposta

As soluções de equilíbrio são y = 3 e y = -3. No campo de direções, para y > 3, as soluções aumentam para +infty; para -3 < y < 3, diminuem para -3; e para y < -3, aumentam para -3. Quando t infty, as soluções tendem a +infty se começarem acima de 3, e tendem a -3 se começarem entre -3 e 3 ou abaixo de -3.

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