Encontre a solução de equilibro, faça um esboço do campo de direções e determine o comportamento das soluções quando
, dos itens a continuação:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo
. Nossa missão aqui é encontrar as soluções de equilíbrio, dar uma olhada no campo de direções e entender como as soluções se comportam quando o tempo
vai para o infinito. Para resolver isso, vamos precisar saber um pouco sobre equações diferenciais de primeira ordem e como analisar seus comportamentos a longo prazo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as soluções de equilíbrio. Essas são as soluções onde
, ou seja, não mudam com o tempo. Então, vamos igualar a equação a zero:
Resolvendo para
:
Então, temos duas soluções de equilíbrio:
e
.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o campo de direções. Esse campo nos ajuda a visualizar como as soluções se comportam em torno das soluções de equilíbrio. Para cada valor de
, o sinal de
nos diz se a solução está aumentando ou diminuindo.
Se
:
- Quando
, , então → está aumentando. - Quando
, , então → está diminuindo. - Quando
, , então → está aumentando.
Isso nos ajuda a desenhar o campo de direções: setas apontando para cima quando
e para baixo quando
, especialmente em relação aos valores de
e
.
Passo 4
Por último, vamos determinar o comportamento das soluções quando
.
- Para
: Como , continua aumentando sem limites. Então, quando . - Para
: Aqui, , então diminui em direção a . Portanto, quando . - Para
: Com , aumenta em direção a . Assim, quando .
Resposta
As soluções de equilíbrio são
e
. No campo de direções, para
, as soluções aumentam para
; para
, diminuem para
; e para
, aumentam para
. Quando
, as soluções tendem a
se começarem acima de 3, e tendem a
se começarem entre
e
ou abaixo de
.