A temperatura de um objeto em um forno é descrita pela função:
T(t)=e^sen(t^2)+ln [1+cos ^2(t)]^3
onde t é o tempo em segundos e T(t) é a temperatura em graus Celsius.
Calcule T^prime(t) em t=pi / 4.

Passo 1

Temos a função T(t)=e^sin(t^2)+lnl[(1+cos^2 t)^3r]. O conteúdo aqui é derivada de funções compostas: vamos precisar da regra da cadeia, da derivada de e^u(t) e da de ln(v(t)). Depois vamos avaliar em t=pi/4.

Passo 2

Para derivar o primeiro termo, note que u(t)=sin(t^2). Usando ddte^u(t)=e^u(t)u'(t) e u'(t)=cos(t^2)cdot2t, obtemos
ddte^sin(t^2)=e^sin(t^2)cdotcos(t^2)cdot2t

Passo 3

No segundo termo, seja v(t)=(1+cos^2 t)^3. Como ddtln(v)=v'/v e aplicando a cadeia em v(t) temos
v'(t)=3(1+cos^2 t)^2cdot2cos t(-sin t)=-6sin tcos t,(1+cos^2 t)^2
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ddtlnl[(1+cos^2 t)^3r]=-6sin tcos t,(1+cos^2 t)^2(1+cos^2 t)^3=-6sin tcos t1+cos^2 t

Passo 4

Agora avaliamos em t=pi/4. No primeiro termo:
e^sin((pi/4)^2)cos((pi/4)^2)cdot2(pi/4)=e^sin(pi^2/16)cos(pi^2/16)pi2
No segundo termo:
-6sin(pi/4)cos(pi/4)1+cos^2(pi/4)=-6cdot(tfracraiz22)^21+tfrac12=-6cdottfrac12tfrac32=-2
Somando os dois resultados, chegamos a T'(pi/4)=e^sin(pi^2/16)cos(pi^2/16)tfracpi2-2.

Resposta

T'(pi/4)=pi2e^sinl(tfracpi^216r)cosl(tfracpi^216r)-2

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