Encontre a solução de equilibro, faça um esboço do campo de direções e determine o comportamento das soluções quando
, dos itens a continuação:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial $ y’ = -y(5 - y) $. O que isso significa é que a taxa de variação de $ y $ em relação a $ t $ depende de $ y $ e de $ (5 - y) $. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre soluções de equilíbrio, campo de direções e o comportamento assintótico das soluções quando $ t $ tende ao infinito. Então, vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as soluções de equilíbrio. Essas são os pontos onde a taxa de variação $ y’ $ é zero, ou seja, $ y’ = 0 $.
Para que isso seja igual a zero, pelo menos um dos fatores deve ser zero:
- $ y = 0 $
- $ 5 - y = 0 $ que dá $ y = 5 $
Então, as soluções de equilíbrio são $ y = 0 $ e $ y = 5 $.
Passo 3
Agora, vamos esboçar o campo de direções. O campo de direções é um gráfico que mostra a inclinação das soluções em cada ponto $ y $. Vamos analisar o sinal de $ y’ $ em diferentes intervalos de $ y $:
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Para $ y < 0 $:Aqui, $ y’ > 0 $, então as soluções estão subindo.
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Para $ 0 < y < 5 $:Aqui, $ y’ < 0 $, então as soluções estão descendo.
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Para $ y > 5 $:Aqui, $ y’ > 0 $, então as soluções estão subindo.
No gráfico, isso significa que:
- Para $ y < 0 $, as setas apontam para cima.
- Entre $ 0 $ e $ 5 $, as setas apontam para baixo.
- Para $ y > 5 $, as setas apontam para cima.
Passo 4
Por último, vamos determinar o comportamento das soluções quando $ t \rightarrow \infty $, ou seja, o que acontece com $ y $ conforme o tempo passa.
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Ponto de equilíbrio $ y = 0 $:
Observando o campo de direções, para $ y $ ligeiramente maior que 0, $ y $ tende a descer para 0. Porém, para $ y $ ligeiramente menor que 0, $ y $ tende a subir para 0. Isso indica que $ y = 0 $ é um ponto de equilíbrio instável, porque as soluções tendem a se afastar de $ y = 0 $ se estiverem em $ y > 0 $ ou $ y < 0 $. -
Ponto de equilíbrio $ y = 5 $:
Para $ y $ um pouco menor que 5, $ y’ $ é negativo, então $ y $ tende a aumentar até 5. Para $ y $ um pouco maior que 5, $ y’ $ é positivo, então $ y $ também tende a aumentar até 5. Isso mostra que $ y = 5 $ é um ponto de equilíbrio estável, onde as soluções tendem a se aproximar de 5 conforme $ t $ aumenta.
Resposta
As soluções de equilíbrio são $ y = 0 $ e $ y = 5 $. No campo de direções, as soluções sobem para $ y = 0 $ quando $ y < 0 $ e decrescem para $ y = 5 $ quando $ 0 < y < 5 $, além de subirem novamente para $ y = 5 $ quando $ y > 5 $. Quando $ t $ tende ao infinito, as soluções se aproximam do ponto de equilíbrio estável $ y = 5 $. Ou seja, independentemente do valor inicial de $ y $, as soluções convergem para $ y = 5 $ conforme $ t $ aumenta.