Resolva cada um dos problemas de valor inicial a seguir e desenhe os gráficos das soluções para 2 valores distintos de
:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver um problema de valor inicial para a equação diferencial
com a condição inicial
. Além disso, precisamos desenhar os gráficos das soluções para dois valores diferentes de
. Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais de primeira ordem e aplicar métodos como o fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo de equação diferencial que temos. A equação
é uma equação diferencial linear de primeira ordem, pois pode ser escrita na forma
, onde
e
.
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos usar o método do fator integrante. O fator integrante,
, é dado por:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso transforma a equação em uma forma que facilita a integração.
Passo 5
Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
Isso nos dá:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Esta é a solução geral da equação diferencial.
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor da constante
:
Passo 9
Substituindo
de volta na solução geral, temos a solução particular:
Passo 10
Agora, vamos desenhar os gráficos para dois valores distintos de
. Vamos escolher
e
.
- Para
:
Neste caso, a solução começa em 0 e cresce assintoticamente para
à medida que
aumenta.
- Para
:
Aqui, a solução começa em 5 e decresce assintoticamente para
conforme
aumenta.
Ambos os gráficos terão uma linha horizontal em
, com um comportamento crescente ou decrescente dependendo do valor inicial.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Para
e
, as soluções são respectivamente:
Os gráficos dessas soluções mostram que, independentemente do valor inicial,
se aproxima de
à medida que
aumenta.