Resolva cada um dos problemas de valor inicial a seguir e desenhe os gráficos das soluções para 2 valores distintos de y0 :
d yd t=-2 y+5 ; y(0)=y0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver um problema de valor inicial para a equação diferencial dydt = -2y + 5 com a condição inicial y(0) = y0. Além disso, precisamos desenhar os gráficos das soluções para dois valores diferentes de y0. Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais de primeira ordem e aplicar métodos como o fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo de equação diferencial que temos. A equação dydt = -2y + 5 é uma equação diferencial linear de primeira ordem, pois pode ser escrita na forma dydt + P(t)y = Q(t), onde P(t) = 2 e Q(t) = 5.

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos usar o método do fator integrante. O fator integrante, mu(t), é dado por:
mu(t) = e^integral P(t) , dt = e^integral 2 , dt = e^2t

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
e^2t dydt + 2e^2ty = 5e^2t
Isso transforma a equação em uma forma que facilita a integração.

Passo 5

Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto mu(t) y:
ddt(e^2t y) = 5e^2t

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a t:
integral ddt(e^2t y) , dt = integral 5e^2t , dt
Isso nos dá:
e^2t y = 52e^2t + C
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Agora, isolamos y dividindo ambos os lados por e^2t:
y = 52 + Ce^-2t
Esta é a solução geral da equação diferencial.

Passo 8

Aplicamos a condição inicial y(0) = y0 para encontrar o valor da constante C:
y0 = 52 + C e^0 implies C = y0 - 52

Passo 9

Substituindo C de volta na solução geral, temos a solução particular:
y(t) = 52 + (y0 - 52)e^-2t

Passo 10

Agora, vamos desenhar os gráficos para dois valores distintos de y0. Vamos escolher y0 = 0 e y0 = 5.
  • Para y0 = 0:
y(t) = 52 - 52e^-2t
Neste caso, a solução começa em 0 e cresce assintoticamente para 52 à medida que t aumenta.
  • Para y0 = 5:
y(t) = 52 + (5 - 52)e^-2t = 52 + 52e^-2t
Aqui, a solução começa em 5 e decresce assintoticamente para 52 conforme t aumenta.
Ambos os gráficos terão uma linha horizontal em y = 52, com um comportamento crescente ou decrescente dependendo do valor inicial.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = 52 + (y0 - 52)e^-2t
Para y0 = 0 e y0 = 5, as soluções são respectivamente:
y(t) = 52 - 52e^-2t e y(t) = 52 + 52e^-2t
Os gráficos dessas soluções mostram que, independentemente do valor inicial, y(t) se aproxima de 52 à medida que t aumenta.

Exercícios relacionados