Encontre a solução do estado estacionário da equação de calor alpha^2 partial^2 upartial x^2=partial upartial t que satisfaz as condições de contorno dados.
u(0, t)=0, partial upartial x(L, t)=0;

Passo 1

Nesse exercício, precisamos encontrar a solução em regime estacionário da equação do calor alpha^2 partial^2 upartial x^2=partial upartial t, sujeita às condições de contorno u(0,t)=0 e partial upartial x(L,t)=0. No regime estacionário, assumimos que u não depende do tempo, ou seja, partial upartial t=0.

Passo 2

Com partial upartial t=0, a equação se reduz a uma equação ordinária em x:
alpha^2 d^2udx^2 = 0

Passo 3

Integramos essa ODE de segunda ordem para obter a solução geral:
u(x) = A,x + B

Passo 4

Aplicamos a primeira condição de contorno u(0)=0:
u(0)=Acdot 0 + B = 0 implies B=0

Passo 5

Aplicamos agora a condição dudx(L)=0. Primeiro, calculamos a derivada:
dudx(x)=A
e impomos dudx(L)=0:
A=0

Passo 6

Com A=0 e B=0, a solução em regime estacionário fica
u(x)=0

Resposta

uestacionário(x)=0á

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