Questão 2. (1,5 pontos) Considere atentamente as afirmações a seguir.
i. Se f:[a, b] [a, b] é contínua, então o gráfico de f intercepta a diagonal do plano cartesiano.
ii. lim x a^- tg(x)=-infty para todo a=pi2+k pi, com k in Z.
iii. Se lim x a f(x)=+infty e lim x a g(x)=-infty, então lim x a f(x) g(x)=-infty.
A seguir, marque com X a sentença que expressa o julgamento correto referente aos itens i, ii e iii:
O único item verdadeiro é ii.

Passo 1

O enunciado apresenta três afirmações sobre continuidade, limites e comportamento de funções em infinito, e pede para julgar se “o único item verdadeiro é ii” está correto.

Passo 2

Para i: Pelo Teorema do Ponto Fixo de Brouwer em uma dimensão, se f:[a,b]→[a,b] é contínua, existe c∈[a,b] tal que f©=c, ou seja, o gráfico intercepta a reta y=x. Logo i é verdadeira.

Passo 3

Para ii: Em a=π/2+kπ, cos(x)→0^+ quando x→a^- e sin(x)→±1, de modo que tan(x)=sin(x)/cos(x)→+∞, não -∞. Portanto ii é falsa.

Passo 4

Para iii: Se f(x)→+∞ e g(x)→-∞ quando x→a, então o produto f(x)g(x) tende a -∞, pois o sinal é negativo e a magnitude cresce sem limite. Logo iii é verdadeira.

Passo 5

Como i e iii são verdadeiras e ii é falsa, a afirmação “o único item verdadeiro é ii” está incorreta.

Resposta

A sentença é falsa.

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