Questão 2. (1,5 pontos) Considere atentamente as afirmações a seguir.
i. Se
é contínua, então o gráfico de
intercepta a diagonal do plano cartesiano.
ii.
para todo
, com
.
iii. Se
e
, então
.
A seguir, marque com
a sentença que expressa o julgamento correto referente aos itens i, ii e iii:
O único item verdadeiro é ii.
i. Se
ii.
iii. Se
A seguir, marque com
O único item verdadeiro é ii.
Passo 1
O enunciado apresenta três afirmações sobre continuidade, limites e comportamento de funções em infinito, e pede para julgar se “o único item verdadeiro é ii” está correto.
Passo 2
Para i: Pelo Teorema do Ponto Fixo de Brouwer em uma dimensão, se f:[a,b]→[a,b] é contínua, existe c∈[a,b] tal que f©=c, ou seja, o gráfico intercepta a reta y=x. Logo i é verdadeira.
Passo 3
Para ii: Em a=π/2+kπ, cos(x)→0^+ quando x→a^- e sin(x)→±1, de modo que tan(x)=sin(x)/cos(x)→+∞, não -∞. Portanto ii é falsa.
Passo 4
Para iii: Se f(x)→+∞ e g(x)→-∞ quando x→a, então o produto f(x)g(x) tende a -∞, pois o sinal é negativo e a magnitude cresce sem limite. Logo iii é verdadeira.
Passo 5
Como i e iii são verdadeiras e ii é falsa, a afirmação “o único item verdadeiro é ii” está incorreta.
Resposta
A sentença é falsa.