Encontre a solução exata de cada equação:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todas as soluções reais da equação
Informações dadas e observações importantes extraídas do enunciado:
- A incógnita é
. - Aparece a função
(arco cosseno). Pelo que é habitual, usa-se a definição principal com domínio e imagem (intervalo de valores) . Ou seja: -
está definida apenas se . - Para
vale .
-
- A igualdade envolve
, que é uma constante conhecida: representa em radianos.
Passo 2
Isolar a função inversa: dividir ambos os lados da equação por
. Isso é válido porque
. Obtém-se
Passo 3
Entender o significado de
. A função
é inversa (na sua definição principal) da função
restrita ao intervalo
. Assim, para qualquer
,
Aplicando
em ambos os lados da igualdade
(e lembrando que
então não há ambiguidade),
Passo 4
Calcular
. É uma identidade trigonométrica básica:
. Portanto
Passo 5
Resolver para
:
Passo 6
Verificar domínio e unicidade: precisamos checar se
está no domínio de
, isto é, se
. Para
temos
, logo a solução é válida. Além disso, como
na sua definição principal é única (imagem em
), não existem outras soluções provenientes de valores alternativos do arco-cosseno: a equação já determinou
de forma única, o que força
.