Encontre a solução exata de cada equação:
4 \cos ^{-1}(2 x)=2 \pi

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as soluções reais da equação
4\cos^{-1}(2x)=2\pi.
Informações dadas e observações importantes extraídas do enunciado:
  • A incógnita é x.
  • Aparece a função \cos^{-1} (arco cosseno). Pelo que é habitual, usa-se a definição principal com domínio [-1,1] e imagem (intervalo de valores) [0,\pi]. Ou seja:
    • \cos^{-1}(u) está definida apenas se u\in[-1,1].
    • Para u\in[-1,1] vale \cos^{-1}(u)\in[0,\pi].
  • A igualdade envolve \pi, que é uma constante conhecida: \pi representa 180^\circ em radianos.

Passo 2

Isolar a função inversa: dividir ambos os lados da equação por 4. Isso é válido porque 4\neq0. Obtém-se
\cos^{-1}(2x)=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}.

Passo 3

Entender o significado de \cos^{-1}(2x)=\dfrac{\pi}{2}. A função \cos^{-1} é inversa (na sua definição principal) da função \cos restrita ao intervalo [0,\pi]. Assim, para qualquer u\in[-1,1],
\cos\big(\cos^{-1}(u)\big)=u.
Aplicando \cos em ambos os lados da igualdade \cos^{-1}(2x)=\dfrac{\pi}{2} (e lembrando que \dfrac{\pi}{2}\in[0,\pi] então não há ambiguidade),
2x=\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right).

Passo 4

Calcular \cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right). É uma identidade trigonométrica básica: \cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0. Portanto
2x=0.

Passo 5

Resolver para x:
x=0.

Passo 6

Verificar domínio e unicidade: precisamos checar se 2x está no domínio de \cos^{-1}, isto é, se 2x\in[-1,1]. Para x=0 temos 2x=0\in[-1,1], logo a solução é válida. Além disso, como \cos^{-1} na sua definição principal é única (imagem em [0,\pi]), não existem outras soluções provenientes de valores alternativos do arco-cosseno: a equação já determinou \cos^{-1}(2x)=\pi/2 de forma única, o que força 2x=0.

Resposta

x=0

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