Escreva uma expressão algébrica para sen \left(\cos ^{-1} x\right).

Passo 1

O enunciado pede que eu escreva uma expressão algébrica para \sin\!\big(\cos^{-1} x\big).
Informações úteis que o enunciado implica (importante para a resolução):
  • A função \cos^{-1} (arccos) recebe valores de x no intervalo [-1,1].
  • O valor \theta=\cos^{-1} x satisfaz \theta\in[0,\pi] (essa é a imagem principal da função \cos^{-1}).

Passo 2

Faço a substituição padrão para ficar mais claro: defina \theta = \cos^{-1} x.
Logo, por definição de arco cosseno,
\cos\theta = x
e, como já disse, \theta\in[0,\pi].

Passo 3

Vou usar a identidade trigonométrica básica (Pitagórica): para todo ângulo \theta vale
\sin^{2}\theta + \cos^{2}\theta = 1.
Explicando: \sin^{2}\theta significa (\sin\theta)^{2} e \cos^{2}\theta significa (\cos\theta)^{2}. Essa identidade é verdadeira para qualquer ângulo e é frequentemente usada para relacionar seno e cosseno.

Passo 4

Isolando \sin\theta na identidade, obtenho
\sin^{2}\theta = 1 - \cos^{2}\theta
e portanto
\sin\theta = \pm\sqrt{\,1 - \cos^{2}\theta\,}.
Aqui aparece o sinal \pm porque a raiz quadrada de um quadrado dá duas possibilidades. Para escolher o sinal certo preciso olhar em qual intervalo \theta está: como \theta\in[0,\pi], o seno nesse intervalo é não negativo (nos quadrantes I e II o seno é \ge 0). Logo devo tomar o sinal positivo:
\sin\theta = \sqrt{\,1 - \cos^{2}\theta\,}\quad\text{quando }\theta\in[0,\pi].

Passo 5

Agora substituo \cos\theta = x na expressão anterior:
\sin\theta = \sqrt{\,1 - x^{2}\,}.
Lembrando que \theta=\cos^{-1} x, isto dá exatamente a expressão pedida:
\sin\!\big(\cos^{-1} x\big) = \sqrt{\,1 - x^{2}\,}.

Passo 6

Observações finais e exemplos rápidos para fixar:
  • A expressão só faz sentido para x\in[-1,1] (domínio de \cos^{-1}).
  • Exemplos: para x=0 obtem \sin(\cos^{-1}0)=\sqrt{1-0}=1 (coerente porque \cos^{-1}0=\tfrac{\pi}{2} e \sin\tfrac{\pi}{2}=1); para x=1 obtem 0; para x=-1 obtem 0.

Resposta

\sin\!\big(\cos^{-1} x\big)=\sqrt{1-x^{2}},\quad x\in[-1,1]

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