Escreva uma expressão algébrica para sen
.
Passo 1
O enunciado pede que eu escreva uma expressão algébrica para
.
Informações úteis que o enunciado implica (importante para a resolução):
Informações úteis que o enunciado implica (importante para a resolução):
- A função
(arccos) recebe valores de no intervalo . - O valor
satisfaz (essa é a imagem principal da função ).
Passo 2
Faço a substituição padrão para ficar mais claro: defina
.
Logo, por definição de arco cosseno,
Logo, por definição de arco cosseno,
e, como já disse,
.
Passo 3
Vou usar a identidade trigonométrica básica (Pitagórica): para todo ângulo
vale
Explicando:
significa
e
significa
. Essa identidade é verdadeira para qualquer ângulo e é frequentemente usada para relacionar seno e cosseno.
Passo 4
Isolando
na identidade, obtenho
e portanto
Aqui aparece o sinal
porque a raiz quadrada de um quadrado dá duas possibilidades. Para escolher o sinal certo preciso olhar em qual intervalo
está: como
, o seno nesse intervalo é não negativo (nos quadrantes I e II o seno é
). Logo devo tomar o sinal positivo:
Passo 5
Agora substituo
na expressão anterior:
Lembrando que
, isto dá exatamente a expressão pedida:
Passo 6
Observações finais e exemplos rápidos para fixar:
- A expressão só faz sentido para
(domínio de ). - Exemplos: para
obtem (coerente porque e ); para obtem 0; para obtem 0.