Encontre a solução exata de cada equação:
3 \operatorname{arctg} x=\pi

Passo 1

O enunciado fornece a equação 3\operatorname{arctg} x=\pi e pede a(s) solução(ões) para x. Informações relevantes que temos:
  • A incógnita é x (assumir x\in\mathbb{R} já que \operatorname{arctg} x está definida para todo x\in\mathbb{R}).
  • A função \operatorname{arctg} aqui é a função arco-tangente no seu ramo principal, portanto seus valores estão no intervalo \left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right).
  • O objetivo é encontrar o(s) valor(es) exatos de x que satisfazem a equação.

Passo 2

Isolar \operatorname{arctg} x. Basta dividir ambos os lados da equação por 3. Assim obtemos
\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{3}.
Explicação do passo: dividir ambos os lados por 3 é uma operação algébrica válida porque 3\neq0 e preserva as soluções da equação.

Passo 3

Usar a definição/inversão da arco-tangente. Por definição de \operatorname{arctg}, se \operatorname{arctg} x=\theta então \tan\theta=x, desde que \theta esteja no ramo principal \left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right). Aqui \theta=\dfrac{\pi}{3} pertence a esse intervalo, logo podemos aplicar a tangente em ambos os membros sem introduzir soluções extraneous. Aplicando \tan obtemos
\tan\bigl(\operatorname{arctg} x\bigr)=\tan\!\left(\frac{\pi}{3}\right).
Pela propriedade inversa temos \tan(\operatorname{arctg} x)=x. Portanto
x=\tan\!\left(\frac{\pi}{3}\right).

Passo 4

Calcular \tan\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right). Uma forma direta é usar os valores trigonométricos conhecidos para o ângulo \dfrac{\pi}{3} (60°):
\sin\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}.
Como \tan=\dfrac{\sin}{\cos}, segue
\tan\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{1}{2}}=\sqrt{3}.

Passo 5

Concluir a solução e verificar. Do passo anterior temos x=\sqrt{3}. Verificação rápida: \operatorname{arctg}(\sqrt{3})=\dfrac{\pi}{3}, logo 3\operatorname{arctg}(\sqrt{3})=3\cdot\dfrac{\pi}{3}=\pi, que é exatamente a equação dada. Além disso, não há outras soluções porque \operatorname{arctg} retorna um único valor no ramo principal, então a solução encontrada é única.

Resposta

x=\sqrt{3}

Exercícios relacionados