Encontre a solução exata de cada equação:
4 \cos ^{-1} x-2 \pi=2 \cos ^{-1} x

Passo 1

O enunciado dá a equação
4\cos^{-1}x-2\pi=2\cos^{-1}x.
O que é pedido: encontrar todos os valores de x que satisfazem essa equação (solução exata). Informações relevantes que já vem do enunciado e da definição da função arco-cosseno:
  • A função \cos^{-1}x (arccos, inversa principal do cosseno) está definida para x\in[-1,1].
  • O valor de \cos^{-1}x pertence ao intervalo [0,\pi], ou seja, \cos^{-1}x\in[0,\pi].

Passo 2

Para facilitar, faço a substituição t=\cos^{-1}x. Vou explicar por que isso é válido: \cos^{-1}x é um número real entre 0 e \pi; então representar esse número por t transforma a equação num problema algébrico simples. Com essa substituição temos:
t\in[0,\pi]\qquad\text{e}\qquad \cos t = x.

Passo 3

Substituindo t na equação original obtemos uma equação linear em t:
4t-2\pi=2t.
Agora resolvo passo a passo:
4t-2\pi=2t
4t-2t=2\pi
2t=2\pi
t=\pi.

Passo 4

Voltando à variável x: t=\cos^{-1}x=\pi. Como \cos^{-1}x=\pi significa que x=\cos \pi, concluímos:
x=\cos\pi=-1.
Aqui é importante lembrar que \cos^{-1}x toma o valor \pi somente quando x=-1, porque a imagem de \cos^{-1} é [0,\pi] e \cos\pi=-1. Não há outras soluções.

Passo 5

Verificação rápida (sempre bom checar): para x=-1 temos \cos^{-1}(-1)=\pi. Substituindo na equação original:
4\pi-2\pi=2\pi
2\pi=2\pi,
que é verdadeiro. Logo x=-1 é solução válida e única no domínio.

Resposta

-1

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