Encontre a solução exata de cada equação:
Passo 1
O enunciado dá a equação
O que é pedido: encontrar todos os valores de
que satisfazem essa equação (solução exata). Informações relevantes que já vem do enunciado e da definição da função arco-cosseno:
- A função
(arccos, inversa principal do cosseno) está definida para . - O valor de
pertence ao intervalo , ou seja, .
Passo 2
Para facilitar, faço a substituição
. Vou explicar por que isso é válido:
é um número real entre
e
; então representar esse número por
transforma a equação num problema algébrico simples. Com essa substituição temos:
Passo 3
Substituindo
na equação original obtemos uma equação linear em
:
Agora resolvo passo a passo:
Passo 4
Voltando à variável
:
. Como
significa que
, concluímos:
Aqui é importante lembrar que
toma o valor
somente quando
, porque a imagem de
é
e
. Não há outras soluções.
Passo 5
Verificação rápida (sempre bom checar): para
temos
. Substituindo na equação original:
que é verdadeiro. Logo
é solução válida e única no domínio.