Encontre a solucao na forma de serie para o problema
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais:
O que precisamos fazer aqui é encontrar a solução dessa equação na forma de uma série. Isso envolve usar métodos de séries para encontrar uma solução que satisfaça a equação e as condições iniciais dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série de potências para uma função
pode ser escrita como:
Isso significa que a solução
é expressa como uma soma infinita de termos envolvendo potências de
multiplicadas por coeficientes
.
Passo 3
Agora, precisamos achar as derivadas de
para substituir na equação diferencial. A primeira derivada é:
E a segunda derivada é:
Passo 4
Vamos substituir
,
e
na equação diferencial:
Para simplificar, vamos alinhar os índices das somas para que todas tenham
com
.
Passo 5
Fazendo a mudança de índice
na primeira soma e
na segunda soma, temos:
Agora, todas as somas estão em termos de
, o que facilita a comparação e a resolução.
Passo 6
Para que a relação seja válida para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem satisfazer a equação:
Isso nos dá uma relação de recorrência para os coeficientes
.
Passo 7
Vamos reorganizar a relação de recorrência para expressar
em termos de
e
:
Essa fórmula vai nos ajudar a calcular cada coeficiente sucessivamente.
Passo 8
Agora, precisamos determinar os coeficientes iniciais usando as condições iniciais. Sabemos que
e
.
Passo 9
Com
e
, vamos calcular os próximos coeficientes usando a relação de recorrência:
Para
:
Para
:
E assim por diante, calculando mais coeficientes se necessário.
Passo 10
Com os coeficientes encontrados, a solução em série fica:
Resposta
A solução na forma de série para o problema dado é: