Encontre a solucao na forma de serie para o problema y^prime prime-2 y^prime+y=0, y^prime(0)=1 e y(0)=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
y'' - 2 y' + y = 0
com as condições iniciais:
y(0) = 0 e y'(0) = 1
O que precisamos fazer aqui é encontrar a solução dessa equação na forma de uma série. Isso envolve usar métodos de séries para encontrar uma solução que satisfaça a equação e as condições iniciais dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série de potências para uma função y(x) = sumn=0^infty an x^n pode ser escrita como:
Isso significa que a solução é expressa como uma soma infinita de termos envolvendo potências de multiplicadas por coeficientes .

Passo 3

Agora, precisamos achar as derivadas de y'(x) = sumn=1^infty n an x^n-1 para substituir na equação diferencial. A primeira derivada é:
y''(x) = sumn=2^infty n (n-1) an x^n-2
E a segunda derivada é:

Passo 4

Vamos substituir sumn=2^infty n (n-1) an x^n-2 - 2 sumn=1^infty n an x^n-1 + sumn=0^infty an x^n = 0 , e na equação diferencial:
Para simplificar, vamos alinhar os índices das somas para que todas tenham com .

Passo 5

Fazendo a mudança de índice sumk=0^infty (k+2)(k+1) ak+2 x^k - 2 sumk=0^infty (k+1) ak+1 x^k + sumk=0^infty ak x^k = 0 na primeira soma e na segunda soma, temos:
Agora, todas as somas estão em termos de , o que facilita a comparação e a resolução.

Passo 6

Para que a relação seja válida para todo (k+2)(k+1) ak+2 - 2 (k+1) ak+1 + ak = 0 , os coeficientes de cada potência de devem satisfazer a equação:
Isso nos dá uma relação de recorrência para os coeficientes .

Passo 7

Vamos reorganizar a relação de recorrência para expressar ak+2 = 2(k+1) ak+1 - ak(k+2)(k+1) em termos de e :
Essa fórmula vai nos ajudar a calcular cada coeficiente sucessivamente.

Passo 8

Agora, precisamos determinar os coeficientes iniciais usando as condições iniciais. Sabemos que e .

Passo 9

Com a2 = 2(0+1) a1 - a02 cdot 1 = 2 cdot 1 - 02 = 1 e a3 = 2(1+1) a2 - a13 cdot 2 = 4 cdot 1 - 16 = 36 = 0.5 , vamos calcular os próximos coeficientes usando a relação de recorrência:
Para :
Para :
E assim por diante, calculando mais coeficientes se necessário.

Passo 10

Com os coeficientes encontrados, a solução em série fica:
y(x) = a0 + a1 x + a2 x^2 + a3 x^3 + dots = 0 + 1 cdot x + 1 cdot x^2 + 0.5 cdot x^3 + dots

Resposta

A solução na forma de série para o problema dado é:
y(x) = x + x^2 + 12 x^3 + dots

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