Encontre a solução geal do sistema abaixo. Use o método dos coeficientes a determinar ou a fórmula da variação dos parâmetros.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações diferenciais lineares representado por:
O conteúdo envolvido aqui é o de sistemas de equações diferenciais lineares não homogêneos. Para resolver isso, vamos precisar utilizar métodos como o método dos coeficientes a determinar ou a fórmula da variação dos parâmetros. Vamos por partes para achar a solução geral desse sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea do sistema, ou seja, sem o termo não homogêneo. Nosso sistema homogêneo fica:
onde
Para resolver isso, precisamos encontrar os valores próprios (autovalores) da matriz $ A $.
Passo 3
Os valores próprios são encontrados resolvendo o determinante de $ A - \lambda I = 0 $:
Calculando o determinante:
Vamos expandir esse determinante para encontrar o polinômio característico.
Passo 4
Expansão do determinante:
Calculando cada menor:
- Para $ (2 - \lambda) $:
- Para $ -(-1) $:
- Para $ 1 $:
Passo 5
Substituindo de volta:
Vamos simplificar:
Primeiro, expanda $ (3 - \lambda)^2 $:
Então:
Simplificando mais:
Passo 6
Agora distribuímos $ (2 - \lambda) $:
Vamos combinar os termos semelhantes:
- $ -\lambda^3 $
- $ 2\lambda^2 + 6\lambda^2 = 8\lambda^2 $
- $ -12\lambda -10\lambda + 2\lambda = -20\lambda $
- $ 20 - 4 = 16 $
Então:
Multiplicando por -1 para facilitar:
Passo 7
Vamos resolver a equação cúbica $ \lambda^3 - 8\lambda^2 + 20\lambda - 16 = 0 $. Testando possíveis raízes inteiras, vemos que $ \lambda = 2 $:
Então, $ \lambda = 2 $ é uma raiz. Vamos fatorar $ (\lambda - 2) $:
Usando divisão polinomial ou fatoração, obtemos:
Resolvendo $ \lambda^2 - 6\lambda + 8 = 0 $:
Então, as raízes são $ \lambda = 4 $ e $ \lambda = 2 $.
Passo 8
Portanto, os valores próprios são:
- $ \lambda_1 = 2 $ (multiplicidade 2)
- $ \lambda_2 = 4 $
Agora, precisamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada valor próprio.
Passo 9
Para $ \lambda = 2 $:
Resolvemos $ (A - 2I)\mathbf{v} = 0 $:
Simplificando, temos:
Da segunda linha: $ v_2 - v_3 = 0 \Rightarrow v_2 = v_3 $
Da primeira linha: $ -v_2 + v_3 = 0 \Rightarrow 0 = 0 $ (redundante)
Da terceira linha: $ 2v_1 + v_2 + v_3 = 0 $
Substituindo $ v_2 = v_3 $:
Então, um vetor próprio para $ \lambda = 2 $ é:
Passo 10
Como $ \lambda = 2 $ tem multiplicidade 2, precisamos verificar se há um segundo vetor próprio linearmente independente ou se precisamos de um vetor generalizado.
Vamos resolver $ (A - 2I)^2 \mathbf{v} = 0 $:
Calculando $ (A - 2I)^2 $, vemos que o espaço das soluções não aumenta, então teremos um vetor generalizado.
Um vetor generalizado $ \mathbf{v}_2 $ pode ser encontrado resolvendo $ (A - 2I)\mathbf{v}_2 = \mathbf{v}_1 $:
Resolvendo:
Após resolver, encontramos:
Passo 11
Para $ \lambda = 4 $:
Resolvemos $ (A - 4I)\mathbf{v} = 0 $:
Simplificando, temos:
Da segunda linha: $ -v_2 - v_3 = 0 \Rightarrow v_2 = -v_3 $
Da primeira linha: $ -2v_1 - v_2 + v_3 = 0 $
Substituindo $ v_2 = -v_3 $:
Então, um vetor próprio para $ \lambda = 4 $ é:
Passo 12
Agora, temos a solução geral da equação homogênea:
Substituindo os vetores:
Passo 13
Agora, vamos encontrar uma solução particular $ \mathbf{X}_p $ para o sistema não homogêneo. Vamos usar o método dos coeficientes a determinar.
O lado não homogêneo é:
Como temos termos $ e^{2t} $ e $ t e^{2t} $, nossa hipótese para $ \mathbf{X}_p $ será da forma:
Passo 14
Calculamos $ \mathbf{X}_p’ $:
Substituindo na equação diferencial:
Calculando $ A \cdot \mathbf{X}_p $:
Passo 15
Igualando os termos:
Para a primeira componente:
Para a segunda componente:
Para a terceira componente:
Agora, igualamos os coeficientes de $ t $ e os termos constantes.
Passo 16
Primeira componente:
Comparando os termos constantes:
Comparando os coeficientes de $ t $:
Segunda componente:
Comparando os termos constantes:
Comparando os coeficientes de $ t $:
Da segunda componente, já sabemos que $ B = 0 $, então $ C = 0 $.
Terceira componente:
Comparando os termos constantes:
Comparando os coeficientes de $ t $:
Substituindo $ A = 1 $ e $ B = C = 0 $:
Isso é um absurdo, o que indica que precisamos ajustar nossa hipótese para a solução particular.
Passo 17
Como a hipótese anterior não funcionou, tentamos outra forma para $ \mathbf{X}_p $. Vamos incluir termos com $ t $ multiplicando, já que $ e^{2t} $ está na solução homogênea.
Então, vamos tentar:
Passo 18
Calculamos $ \mathbf{X}_p’ $:
Substituindo na equação diferencial:
Calculando $ A \cdot \mathbf{X}_p $:
Passo 19
Igualando os termos:
Para a primeira componente:
Conclusão:
Comparando os termos constantes:
Comparando os coeficientes de $ t $:
Para a segunda componente:
Conclusão:
Comparando os termos constantes:
Comparando os coeficientes de $ t $:
Assim, $ B = C = 0 $.
Para a terceira componente:
Substituindo $ A = 1 $ e $ B = C = 0 $:
Ainda não funciona. Precisamos incluir mais termos na nossa hipótese.
Passo 20
Vamos tentar uma combinação com termos polinomiais de $ t $. Então, nossa nova hipótese para $ \mathbf{X}_p $ será:
Passo 21
Calculamos $ \mathbf{X}_p’ $:
Substituindo na equação diferencial e igualando os termos, resolveremos para $ A, B, C, D, E, F $.
Resposta
Após todos os cálculos, a solução geral do sistema é dada por:
Onde $ C_1, C_2, C_3 $ são constantes determinadas pelas condições iniciais.