Determine a solução geral da equação diferencial
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a solução geral da equação diferencial
Então, vamos trabalhar com equações diferenciais ordinárias de segunda ordem. Precisamos encontrar uma solução que abranja todas as possíveis soluções dessa equação. Para isso, vamos resolver a parte homogênea e depois encontrar uma solução particular para a parte não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea, ou seja, aquela onde o lado direito é zero:
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes variáveis, o que pode tornar a solução um pouco mais complicada. Vamos tentar simplificar.
Passo 3
Observando a equação, percebemos que os coeficientes dependem de $ x $. Para facilitar, vamos fazer uma mudança de variável. Vamos definir $ t = x - 1 $. Assim, quando $ x \leq -1 $, $ t \leq -2 $.
Derivando em relação a $ t $:
Substituindo na equação homogênea:
Passo 4
Agora, temos a equação na forma:
Essa parece semelhante a uma equação de Cauchy-Euler, que tem a forma:
Para resolver, tentamos uma solução do tipo $ y = t^{m} $. Vamos substituir na equação para encontrar $ m $.
Passo 5
Assumindo $ y = t^{m} $, temos:
Substituindo na equação:
Para que essa equação seja válida para todo $ t $, os coeficientes de cada potência de $ t $ devem ser iguais a zero.
Passo 6
Igualando os coeficientes:
Para $ t^{m} $:
Resolvendo a equação quadrática:
Passo 7
Portanto, as soluções para a equação homogênea são:
Substituindo $ t = x - 1 $:
Passo 8
Agora, vamos encontrar uma solução particular $ y_p $ para a equação não homogênea:
Para isso, usamos o método dos coeficientes a determinar. Vamos supor que a solução particular tenha a forma de um polinômio, já que o lado direito é um polinômio.
Vamos tentar:
Passo 9
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Expandindo cada termo:
Simplificando:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 10
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de $ x $:
Para $ x^{2} $:
Para $ x $:
Substituindo $ A = -\frac{1}{3} $:
Para o termo constante:
Substituindo $ A = -\frac{1}{3} $ e $ B = \frac{1}{2} $:
Passo 11
Assim, a solução particular é:
Passo 12
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.