Determine a solução geral da equação diferencial
(x-1)^2 y^prime prime-(x+1) y^prime-3 y=x^2-1, x <=-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a solução geral da equação diferencial
(x-1)^2 y'' - (x+1) y' - 3y = x^2 - 1, x <= -1
Então, vamos trabalhar com equações diferenciais ordinárias de segunda ordem. Precisamos encontrar uma solução que abranja todas as possíveis soluções dessa equação. Para isso, vamos resolver a parte homogênea e depois encontrar uma solução particular para a parte não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea, ou seja, aquela onde o lado direito é zero:
(x-1)^2 y'' - (x+1) y' - 3y = 0
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes variáveis, o que pode tornar a solução um pouco mais complicada. Vamos tentar simplificar.

Passo 3

Observando a equação, percebemos que os coeficientes dependem de $ x $. Para facilitar, vamos fazer uma mudança de variável. Vamos definir $ t = x - 1 $. Assim, quando $ x \leq -1 $, $ t \leq -2 $.
Derivando em relação a $ t $:
x
t = x - 1
Substituindo na equação homogênea:
x <= -1

Passo 4

Agora, temos a equação na forma:
t^2 y'' - (t + 2) y' - 3y = 0
Essa parece semelhante a uma equação de Cauchy-Euler, que tem a forma:
a t^2 y'' + b t y' + c y = 0
Para resolver, tentamos uma solução do tipo $ y = t^{m} $. Vamos substituir na equação para encontrar $ m $.

Passo 5

Assumindo $ y = t^{m} $, temos:
y = t^m
y' = m t^m-1
Substituindo na equação:
y'' = m(m-1) t^m-2
t^2 cdot m(m-1) t^m-2 - (t + 2) cdot m t^m-1 - 3 t^m = 0
m(m-1) t^m - m(t + 2) t^m-1 - 3 t^m = 0
Para que essa equação seja válida para todo $ t $, os coeficientes de cada potência de $ t $ devem ser iguais a zero.

Passo 6

Igualando os coeficientes:
Para $ t^{m} $:
t^m
m(m-1) - m - 3 = 0 implies m^2 - m - m - 3 = m^2 - 2m - 3 = 0
Resolvendo a equação quadrática:
m^2 - 2m - 3 = 0
m = 2 pm raiz4 + 122 = 2 pm raiz162 = 2 pm 42

Passo 7

Portanto, as soluções para a equação homogênea são:
yh = C1 t^3 + C2 t^-1
Substituindo $ t = x - 1 $:
t = x - 1

Passo 8

Agora, vamos encontrar uma solução particular $ y_p $ para a equação não homogênea:
yp
Para isso, usamos o método dos coeficientes a determinar. Vamos supor que a solução particular tenha a forma de um polinômio, já que o lado direito é um polinômio.
Vamos tentar:
(x-1)^2 y'' - (x+1) y' - 3y = x^2 - 1

Passo 9

Calculando as derivadas:
yp' = 2A x + B
yp'' = 2A
Substituindo na equação:
(x-1)^2 cdot 2A - (x + 1)(2A x + B) - 3(A x^2 + B x + C) = x^2 - 1
Expandindo cada termo:
2A (x^2 - 2x + 1) - (2A x^2 + B x + 2A x + B) - 3A x^2 - 3B x - 3C = x^2 - 1
Simplificando:
2A x^2 - 4A x + 2A - 2A x^2 - B x - 2A x - B - 3A x^2 - 3B x - 3C = x^2 - 1
Agrupando termos semelhantes:
(2A - 2A - 3A) x^2 + (-4A - B - 2A - 3B) x + (2A - B - 3C) = x^2 - 1
-3A x^2 + (-6A - 4B) x + (2A - B - 3C) = x^2 - 1

Passo 10

Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de $ x $:
Para $ x^{2} $:
x
Para $ x $:
x^2
Substituindo $ A = -\frac{1}{3} $:
-3A = 1 implies A = -13
Para o termo constante:
x
Substituindo $ A = -\frac{1}{3} $ e $ B = \frac{1}{2} $:
-6A - 4B = 0
A = -13

Passo 11

Assim, a solução particular é:
yp = -13 x^2 + 12 x - 118

Passo 12

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
y = yh + yp = C1 (x - 1)^3 + C2 (x - 1)^-1 - 13 x^2 + 12 x - 118

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y = C1 (x - 1)^3 + C2 (x - 1)^-1 - 13 x^2 + 12 x - 118,
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.

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