Resolva pelo Método de Variação de parâmetros: a equação diferencial de Segunda Ordem de Coeficientes constantes não homogênea:
y^prime prime-3 y^prime+2 y=e^3 x1+e^x
Assinale a(s) alternativa(s) correta(s):
a. yc(x)=c1 e^2 x+c2 e^x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de 2ª ordem não‐homogênea y''-3y'+2y=e^3x1+e^x usando o método de variação de parâmetros. O conteúdo é solução de EDO linear com coeficientes constantes e variação de parâmetros; vamos precisar do solução geral da homogênea e da fórmula de variação de parâmetros.

Passo 2

Primeiro resolvemos a homogênea y''-3y'+2y=0. A equação característica é r^2-3r+2=0, cujas raízes são r=1 e r=2. Logo, a solução complementar é
yc(x)=C1e^x+C2e^2x

Passo 3

Essa expressão confirma que a alternativa (a) está correta.

Passo 4

Para a variação de parâmetros, escolhemos y1=e^x e y2=e^2x. O Wronskiano é
W=e^x & e^2xe^x &2e^2x=e^xcdot2e^2x-e^2xcdot e^x=e^3x

Passo 5

A fórmula para a particular é
yp=-y1integraly2,g(x)W,dx+y2integraly1,g(x)W,dxcom;g(x)=e^3x1+e^x

Passo 6

Como g(x)/W=1/(1+e^x), calculamos as integrais:
I1=integrale^2x1+e^x,dx=e^x-ln(1+e^x),
I2=integrale^x1+e^x,dx=ln(1+e^x),

Passo 7

Substituindo em yp:
yp=-e^xl(e^x-ln(1+e^x)r)+e^2xln(1+e^x)=-e^2x+e^x(1+e^x)ln(1+e^x)

Passo 8

Como -e^2x é solução homogênea, podemos absorvê‐lo nos constantes e adotar como particular
yp=e^x(1+e^x)ln(1+e^x)

Passo 9

Juntando tudo, a solução geral é:
y(x)=C1e^x+C2e^2x+e^x(1+e^x)ln(1+e^x)

Resposta

A alternativa (a) está correta e a solução geral da EDO é y(x)=C1e^x+C2e^2x+e^x(1+e^x)ln(1+e^x).

Exercícios relacionados