Use o método da transformada de Laplace para calcular e^A t para a matriz de coeficientes.
X^prime=(lll 3 & 1 & 0 0 & 3 & 1 0 & 0 & 3 ) X

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para usar o método da transformada de Laplace para calcular $ e^{\mathbf{A} t} $, onde e^A t é uma matriz de coeficientes dada. Nosso conteúdo envolve transformadas de Laplace aplicadas a sistemas de equações diferenciais matriciais. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a transformada de Laplace em matrizes e manipular equações matriciais no domínio da frequência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a solução geral de um sistema linear de equações diferenciais da forma X' = A X pode ser expressa como X(t) = e^A t X(0). Nosso objetivo é encontrar $ e^{\mathbf{A} t} $.

Passo 3

A transformada de Laplace da derivada X' é $ \mathcal{L}{\mathbf{X}’} = s \mathbf{X}(s) - \mathbf{X}(0) $, onde LX' = s X(s) - X(0) é a transformada de Laplace de X(s). Aplicando a transformada de Laplace na equação diferencial:
X(t)

Passo 4

Agora, vamos isolar X(s):
(s I - A) X(s) = X(0)
Onde I é a matriz identidade. Para encontrar X(s), precisamos inverter a matriz $ (s \mathbf{I} - \mathbf{A}) $:
(s I - A)

Passo 5

O próximo passo é calcular a inversa de $ (s \mathbf{I} - \mathbf{A}) $. Vamos escrever essa matriz:
(s I - A)
Como essa é uma matriz triangular superior, a inversa também será triangular superior. Podemos calcular a inversa usando método de escalonamento ou fórmulas para matrizes triangulares.

Passo 6

Calculando a inversa de $ s \mathbf{I} - \mathbf{A} $:
s I - A

Passo 7

Agora, temos:
X(s) = (s I - A)^-1 X(0) = 1s-3 & 1(s-3)^2 & 1(s-3)^3 0 & 1s-3 & 1(s-3)^2 0 & 0 & 1s-3 X(0)

Passo 8

Para encontrar $ e^{\mathbf{A} t} $, precisamos fazer a transformada inversa de Laplace de cada elemento dessa matriz. Sabemos que:
e^A t

Passo 9

Aplicando a transformada inversa de Laplace:
e^A t = e^3t & t e^3t & t^22 e^3t 0 & e^3t & t e^3t 0 & 0 & e^3t

Resposta

Então, a matriz $ e^{\mathbf{A} t} $ é:
e^A t

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