Use o método da transformada de Laplace para calcular para a matriz de coeficientes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para usar o método da transformada de Laplace para calcular $ e^{\mathbf{A} t} $, onde e^A t é uma matriz de coeficientes dada. Nosso conteúdo envolve transformadas de Laplace aplicadas a sistemas de equações diferenciais matriciais. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a transformada de Laplace em matrizes e manipular equações matriciais no domínio da frequência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a solução geral de um sistema linear de equações diferenciais da forma X' = A X pode ser expressa como X(t) = e^A t X(0). Nosso objetivo é encontrar $ e^{\mathbf{A} t} $.
Passo 3
A transformada de Laplace da derivada X' é $ \mathcal{L}{\mathbf{X}’} = s \mathbf{X}(s) - \mathbf{X}(0) $, onde LX' = s X(s) - X(0) é a transformada de Laplace de X(s). Aplicando a transformada de Laplace na equação diferencial:
X(t)
Passo 4
Agora, vamos isolar X(s):
(s I - A) X(s) = X(0)
Onde I é a matriz identidade. Para encontrar X(s), precisamos inverter a matriz $ (s \mathbf{I} - \mathbf{A}) $:
(s I - A)
Passo 5
O próximo passo é calcular a inversa de $ (s \mathbf{I} - \mathbf{A}) $. Vamos escrever essa matriz:
(s I - A)
Como essa é uma matriz triangular superior, a inversa também será triangular superior. Podemos calcular a inversa usando método de escalonamento ou fórmulas para matrizes triangulares.
Passo 6
Calculando a inversa de $ s \mathbf{I} - \mathbf{A} $: