Encontre a solução geral de cada EDO abaixo. Use a solução geral para dizer o que acontece com as soluções quando
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede duas coisas:
- encontrar a solução geral
dessa equação; - usar a solução geral para dizer o que acontece com as soluções quando
.
Informações relevantes dadas no enunciado:
- coeficiente do termo
é a constante ; - termo não-homogêneo é
; - não há condições iniciais (logo a solução terá uma constante arbitrária).
Passo 2
Vamos colocar a equação na forma padrão usada no método do fator integrante:
Aqui identificamos
Explicando a técnica (fator integrante): para uma equação
define-se o fator integrante
Esse fator é escolhido porque, pela regra do produto,
Se
, então o lado direito é exatamente
, ou seja multiplicando a equação original por
torna o lado esquerdo um derivado exato.
Passo 3
Calculemos o fator integrante
. Como
,
portanto
Verificamos a propriedade:
, então tudo certo.
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
:
Pelo que foi explicado, o lado esquerdo é o derivado de
:
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração (real arbitrária).
Passo 5
Isolamos
multiplicando por
:
Portanto a solução geral é
Aqui
representa a constante arbitrária que depende da condição inicial, se houver.
Passo 6
Analisando o comportamento quando
. Podemos escrever
Como
quando
, o comportamento é:
- se
, então e ; - se
, então ; - se
, o termo domina negativamente e .
Em resumo: todas as soluções crescem em módulo exponencialmente quando
; para
o termo dominante é
(crescimento/decrescimento como
), e para
o comportamento é
.
Resposta
Quando
: se
então
; se
então
(em particular, para
a divergência é dominada por
, e para
por
).