Encontre a solução geral de cada EDO abaixo. Use a solução geral para dizer o que acontece com as soluções quando x \rightarrow \infty.
y^{\prime}-2 y=3 e^{x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y' - 2y = 3 e^{x},
e pede duas coisas:
  • encontrar a solução geral y(x) dessa equação;
  • usar a solução geral para dizer o que acontece com as soluções quando x \rightarrow \infty.
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • coeficiente do termo y é a constante -2;
  • termo não-homogêneo é 3 e^{x};
  • não há condições iniciais (logo a solução terá uma constante arbitrária).

Passo 2

Vamos colocar a equação na forma padrão usada no método do fator integrante:
y' + p(x)\,y = q(x).
Aqui identificamos
p(x) = -2,\qquad q(x)=3 e^{x}.
Explicando a técnica (fator integrante): para uma equação y'+p(x)y=q(x) define-se o fator integrante
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}.
Esse fator é escolhido porque, pela regra do produto,
\frac{d}{dx}\big(\mu(x)\,y(x)\big)=\mu(x)\,y'(x)+\mu'(x)\,y(x).
Se \mu'(x)=\mu(x)p(x), então o lado direito é exatamente \mu(x)\big(y'(x)+p(x)y(x)\big), ou seja multiplicando a equação original por \mu torna o lado esquerdo um derivado exato.

Passo 3

Calculemos o fator integrante \mu(x). Como p(x)=-2,
\int p(x)\,dx=\int -2\,dx=-2x,
portanto
\mu(x)=e^{-2x}.
Verificamos a propriedade: \mu'(x)=-2 e^{-2x} = p(x)\mu(x), então tudo certo.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=e^{-2x}:
e^{-2x}y' - 2 e^{-2x}y = 3 e^{x} e^{-2x}.
Pelo que foi explicado, o lado esquerdo é o derivado de \mu y:
\frac{d}{dx}\big(e^{-2x}y\big)=3 e^{-x}.
Agora integramos ambos os lados em relação a x:
e^{-2x}y = \int 3 e^{-x}\,dx = -3 e^{-x} + C,
onde C é a constante de integração (real arbitrária).

Passo 5

Isolamos y multiplicando por e^{2x}:
y(x) = e^{2x}\big(-3 e^{-x} + C\big) = -3 e^{x} + C e^{2x}.
Portanto a solução geral é
y(x)=C e^{2x} - 3 e^{x},\qquad C\in\mathbb{R}.
Aqui C representa a constante arbitrária que depende da condição inicial, se houver.

Passo 6

Analisando o comportamento quando x\to\infty. Podemos escrever
y(x)=e^{x}\big(C e^{x}-3\big).
Como e^{x}\to\infty quando x\to\infty, o comportamento é:
  • se C>0, então C e^{x}\to\infty e y(x)\to +\infty;
  • se C=0, então y(x)=-3 e^{x}\to -\infty;
  • se C<0, o termo C e^{2x} domina negativamente e y(x)\to -\infty.
Em resumo: todas as soluções crescem em módulo exponencialmente quando x\to\infty; para C\neq0 o termo dominante é C e^{2x} (crescimento/decrescimento como e^{2x}), e para C=0 o comportamento é -3 e^{x}.

Resposta

y(x)=C e^{2x}-3 e^{x},\quad C\in\mathbb{R}.
Quando x\to\infty: se C>0 então y(x)\to+\infty; se C\le0 então y(x)\to-\infty (em particular, para C\neq0 a divergência é dominada por C e^{2x}, e para C=0 por -3 e^{x}).

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