Encontre a solução geral de cada EDO abaixo. Use a solução geral para dizer o que acontece com as soluções quando x \rightarrow \infty.
y^{\prime}+\frac{1}{x} y=3 \cos (2 x), x>0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e as condições de domínio:
  • Equação: y^{\prime}+\dfrac{1}{x}y=3\cos(2x).
  • Domínio: x>0.
O que é pedido:
  • Encontrar a solução geral y(x) para x>0.
  • Usar essa solução geral para dizer o que acontece com as soluções quando x\to\infty.

Passo 2

Identificar a estratégia (modo de resolver) — explicação curta e didática:
A equação está na forma de uma equação linear de primeira ordem
y'+P(x)y=Q(x),
onde aqui P(x)=\dfrac{1}{x} e Q(x)=3\cos(2x). O método clássico é multiplicar por um fator integrante \mu(x) tal que o lado esquerdo se torne a derivada de \mu(x)y. Esse fator integrante é dado por
\mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right).
Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Calcular o fator integrante \mu(x):
\mu(x)=\exp\!\left(\int \frac{1}{x}\,dx\right)=\exp(\ln x)=x,
já que x>0 no domínio dado (então \ln x faz sentido e não há constantes adicionais aqui).

Passo 4

Multiplicar a equação original por \mu(x)=x. Isso transforma a equação em
x y' + y = 3x\cos(2x).
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto x y, porque
\frac{d}{dx}(x y)=x y' + y.
Portanto obtemos a equação equivalente
\frac{d}{dx}(x y)=3x\cos(2x).

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a x:
x y = \int 3x\cos(2x)\,dx + C,
onde C é a constante de integração. Agora calculamos a integral \int x\cos(2x)\,dx por partes, de forma bem explícita.
Fazer a integral por partes. Escolher:
  • u=x \Rightarrow du=dx.
  • dv=\cos(2x)\,dx \Rightarrow v=\dfrac{1}{2}\sin(2x).
Assim
\int x\cos(2x)\,dx = x\cdot\frac{1}{2}\sin(2x) - \int \frac{1}{2}\sin(2x)\,dx.
Calcular a segunda integral:
\int \sin(2x)\,dx = -\frac{1}{2}\cos(2x).
Logo
\int x\cos(2x)\,dx = \frac{x}{2}\sin(2x) - \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\cos(2x)\right) = \frac{x}{2}\sin(2x) + \frac{1}{4}\cos(2x).
Multiplicando por 3 obtemos
\int 3x\cos(2x)\,dx = \frac{3x}{2}\sin(2x) + \frac{3}{4}\cos(2x).
Portanto a primitiva completa é
x y = \frac{3x}{2}\sin(2x) + \frac{3}{4}\cos(2x) + C.

Passo 6

Isolar y dividindo por x (lembrando x>0):
y(x)=\frac{3}{2}\sin(2x) + \frac{3}{4}\frac{\cos(2x)}{x} + \frac{C}{x}.
Interpretação: a solução geral é a soma da solução particular
y_p(x)=\frac{3}{2}\sin(2x)+\frac{3}{4}\frac{\cos(2x)}{x}
e da solução geral da homogênea
y_h(x)=\frac{C}{x}.

Passo 7

Analisar o comportamento quando x\to\infty.
Observe os termos que dependem de x:
  • O termo \dfrac{C}{x} tende a 0 quando x\to\infty.
  • O termo \dfrac{3}{4}\dfrac{\cos(2x)}{x} também tende a 0 quando x\to\infty, porque \cos(2x) é limitado e divide por x\to\infty.
  • Resta o termo \dfrac{3}{2}\sin(2x), que não tende a um limite quando x\to\infty; ele oscila entre -\dfrac{3}{2} e \dfrac{3}{2}.
Portanto, para qualquer constante C,
y(x)=\frac{3}{2}\sin(2x)+\underbrace{\left(\frac{3}{4}\frac{\cos(2x)}{x}+\frac{C}{x}\right)}_{\to 0\text{ quando }x\to\infty}.
Em outras palavras, y(x)-\dfrac{3}{2}\sin(2x)\to 0 quando x\to\infty, mas y(x) não tem limite finito porque a parte \dfrac{3}{2}\sin(2x) oscila. Todas as soluções ficam, porém, uniformemente limitadas por |y(x)|\le \dfrac{3}{2}+o(1).

Resposta

y(x)=\dfrac{C}{x}+\dfrac{3}{2}\sin(2x)+\dfrac{3\cos(2x)}{4x}\n
Quando x\to\infty, \dfrac{C}{x}\to 0 e \dfrac{3\cos(2x)}{4x}\to 0, logo y(x)=\dfrac{3}{2}\sin(2x)+o(1); as soluções oscilam entre -\dfrac{3}{2} e \dfrac{3}{2} e não têm limite único.

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