Encontre a solução geral de cada EDO abaixo. Use a solução geral para dizer o que acontece com as soluções quando x \rightarrow \infty. y^{\prime}+\frac{1}{x} y=3 \cos (2 x), x>0
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e as condições de domínio:
Equação: y^{\prime}+\dfrac{1}{x}y=3\cos(2x).
Domínio: x>0.
O que é pedido:
Encontrar a solução geral y(x) para x>0.
Usar essa solução geral para dizer o que acontece com as soluções quando x\to\infty.
Passo 2
Identificar a estratégia (modo de resolver) — explicação curta e didática:
A equação está na forma de uma equação linear de primeira ordem
y'+P(x)y=Q(x),
onde aqui P(x)=\dfrac{1}{x} e Q(x)=3\cos(2x). O método clássico é multiplicar por um fator integrante \mu(x) tal que o lado esquerdo se torne a derivada de \mu(x)y. Esse fator integrante é dado por
O termo \dfrac{3}{4}\dfrac{\cos(2x)}{x} também tende a 0 quando x\to\infty, porque \cos(2x) é limitado e divide por x\to\infty.
Resta o termo \dfrac{3}{2}\sin(2x), que não tende a um limite quando x\to\infty; ele oscila entre -\dfrac{3}{2} e \dfrac{3}{2}.
Portanto, para qualquer constante C,
y(x)=\frac{3}{2}\sin(2x)+\underbrace{\left(\frac{3}{4}\frac{\cos(2x)}{x}+\frac{C}{x}\right)}_{\to 0\text{ quando }x\to\infty}.
Em outras palavras, y(x)-\dfrac{3}{2}\sin(2x)\to 0 quando x\to\infty, mas y(x) não tem limite finito porque a parte \dfrac{3}{2}\sin(2x) oscila. Todas as soluções ficam, porém, uniformemente limitadas por |y(x)|\le \dfrac{3}{2}+o(1).
Resposta
y(x)=\dfrac{C}{x}+\dfrac{3}{2}\sin(2x)+\dfrac{3\cos(2x)}{4x}\n
Quando x\to\infty, \dfrac{C}{x}\to 0 e \dfrac{3\cos(2x)}{4x}\to 0, logo y(x)=\dfrac{3}{2}\sin(2x)+o(1); as soluções oscilam entre -\dfrac{3}{2} e \dfrac{3}{2} e não têm limite único.