Encontre a solução geral de cada EDO abaixo. Use a solução geral para dizer o que acontece com as soluções quando
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
O que é pedido:
- Encontrar a solução geral da EDO (todas as soluções, com a constante arbitrária).
- Usar essa solução geral para dizer o que acontece com as soluções quando
.
Informações relevantes fornecidas:
- É uma EDO de primeira ordem, linear, do tipo
com e . - A parte não homogênea tem um termo polinomial (
) e um termo exponencial ( ).
Passo 2
Escolha do método: vou usar o fator integrante (método padrão para EDOs lineares de primeira ordem). Motivo: a equação está exatamente na forma
com
simples e constante, e o fator integrante transforma a equação numa derivada exata que se integra diretamente. Esse método é seguro para a prova e exige apenas integração simples.
Lembrete da fórmula do fator integrante: para
o fator integrante é
Multiplicando a EDO por
obtém-se a identidade
Depois integra-se ambos os lados para achar
.
Passo 3
Calcular o fator integrante para
:
Agora multiplico a equação original por
. Pela regra do produto,
Passo 4
Multiplicando o lado direito também por
obtemos
Observar que
. Portanto o lado direito é
Passo 5
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
Logo
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Calcular
por partes. Tomo
Então, pela fórmula da integração por partes
,
A integral restante é
. Portanto
Passo 7
Calcular
é direto:
Passo 8
Juntando os resultados em
:
Agora divido ambos os lados por
para isolar
:
Como
, obtemos finalmente
onde
é constante arbitrária real.
Passo 9
Interpretação da solução (estrutura): a solução geral é soma da solução particular
e da solução geral da homogênea
.
- Solução homogênea da equação associada
é . - Uma solução particular escolhida foi
. (Observação: poder-se-ia também obter pelo método dos coeficientes indeterminados, assumindo combinação de polinômio de grau 1 e um termo .)
Passo 10
Comportamento quando
:
Analisar os termos da solução
- Os termos
e tendem a quando . - Portanto, para
grande, se comporta como : cresce linearmente com .
Formalmente,
logo
e em particular
Resposta
As soluções satisfazem