Encontre a solução geral de cada EDO abaixo. Use a solução geral para dizer o que acontece com as soluções quando x \rightarrow \infty.
y^{\prime}+3 y=x+e^{-2 x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y'+3y = x + e^{-2x}.
O que é pedido:
  • Encontrar a solução geral da EDO (todas as soluções, com a constante arbitrária).
  • Usar essa solução geral para dizer o que acontece com as soluções quando x\rightarrow\infty.
Informações relevantes fornecidas:
  • É uma EDO de primeira ordem, linear, do tipo y' + p(x)y = q(x) com p(x)=3 e q(x)=x+e^{-2x}.
  • A parte não homogênea tem um termo polinomial ( x) e um termo exponencial ( e^{-2x}).

Passo 2

Escolha do método: vou usar o fator integrante (método padrão para EDOs lineares de primeira ordem). Motivo: a equação está exatamente na forma y'+p(x)y=q(x) com p(x) simples e constante, e o fator integrante transforma a equação numa derivada exata que se integra diretamente. Esse método é seguro para a prova e exige apenas integração simples.
Lembrete da fórmula do fator integrante: para
y' + p(x)y = q(x),
o fator integrante é
\mu(x) = e^{\int p(x)\,dx}.
Multiplicando a EDO por \mu(x) obtém-se a identidade
\frac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big) = \mu(x)\,q(x).
Depois integra-se ambos os lados para achar \mu(x)y.

Passo 3

Calcular o fator integrante para p(x)=3:
\mu(x) = e^{\int 3\,dx} = e^{3x}.
Agora multiplico a equação original por \mu(x)=e^{3x}. Pela regra do produto,
e^{3x}y' + 3e^{3x}y = \frac{d}{dx}\big(e^{3x}y\big).

Passo 4

Multiplicando o lado direito também por e^{3x} obtemos
\frac{d}{dx}\big(e^{3x}y\big) = e^{3x}\big(x + e^{-2x}\big).
Observar que e^{3x}\cdot e^{-2x}=e^{x}. Portanto o lado direito é
e^{3x}x + e^{x}.

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big(e^{3x}y\big)\,dx = \int \big( x e^{3x} + e^{x}\big)\,dx.
Logo
e^{3x}y = \int x e^{3x}\,dx + \int e^{x}\,dx + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Calcular \int x e^{3x}\,dx por partes. Tomo
u = x\quad\Rightarrow\quad du = dx,
dv = e^{3x}\,dx\quad\Rightarrow\quad v = \frac{1}{3}e^{3x}.
Então, pela fórmula da integração por partes \int u\,dv = uv - \int v\,du,
\int x e^{3x}\,dx = x\cdot\frac{1}{3}e^{3x} - \int \frac{1}{3}e^{3x}\,dx.
A integral restante é \int \frac{1}{3}e^{3x}\,dx = \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}e^{3x} = \frac{1}{9}e^{3x}. Portanto
\int x e^{3x}\,dx = \frac{1}{3}x e^{3x} - \frac{1}{9}e^{3x}.

Passo 7

Calcular \int e^{x}\,dx é direto:
\int e^{x}\,dx = e^{x}.

Passo 8

Juntando os resultados em e^{3x}y:
e^{3x}y = \left(\frac{1}{3}x e^{3x} - \frac{1}{9}e^{3x}\right) + e^{x} + C.
Agora divido ambos os lados por e^{3x} para isolar y:
y = \frac{1}{3}x - \frac{1}{9} + e^{x}e^{-3x} + C e^{-3x}.
Como e^{x}e^{-3x}=e^{-2x}, obtemos finalmente
\boxed{y(x) = \frac{1}{3}x - \frac{1}{9} + e^{-2x} + C e^{-3x},}
onde C é constante arbitrária real.

Passo 9

Interpretação da solução (estrutura): a solução geral é soma da solução particular y_p(x) e da solução geral da homogênea y_h(x).
  • Solução homogênea da equação associada y'+3y=0 é y_h(x)=C e^{-3x}.
  • Uma solução particular escolhida foi y_p(x)=\dfrac{1}{3}x - \dfrac{1}{9} + e^{-2x}. (Observação: poder-se-ia também obter y_p pelo método dos coeficientes indeterminados, assumindo combinação de polinômio de grau 1 e um termo Ae^{-2x}.)

Passo 10

Comportamento quando x\rightarrow\infty:
Analisar os termos da solução
y(x) = \frac{1}{3}x - \frac{1}{9} + e^{-2x} + C e^{-3x}.
  • Os termos e^{-2x} e C e^{-3x} tendem a 0 quando x\rightarrow\infty.
  • Portanto, para x grande, y(x) se comporta como \dfrac{1}{3}x - \dfrac{1}{9}: cresce linearmente com x.
Formalmente,
\lim_{x\to\infty} e^{-2x} = 0,\qquad \lim_{x\to\infty} C e^{-3x}=0,
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y(x) = \frac{1}{3}x - \frac{1}{9} + o(1)\quad\text{quando }x\to\infty,
e em particular
\lim_{x\to\infty} y(x) = +\infty.

Resposta

y(x)=\dfrac{1}{3}x-\dfrac{1}{9}+e^{-2x}+C e^{-3x},\\ C\in\mathbb{R}
As soluções satisfazem y(x)\sim \dfrac{1}{3}x-\dfrac{1}{9} quando x\to\infty; em particular y(x)\to +\infty quando x\to\infty.

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