Encontre a solução geral de cada EDO abaixo. Use a solução geral para dizer o que acontece com as soluções quando x \rightarrow \infty.
x y^{\prime}+2 y=\operatorname{sen}(x), x>0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial ordinária e pede duas coisas:
  • Equação dada: x\,y^{\prime}+2y=\operatorname{sen}(x), com x>0.
  • Pedidos:
    1. Encontrar a solução geral da EDO.
    2. Usar a solução geral para dizer o que acontece com as soluções quando x\to\infty.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A EDO é de primeira ordem e linear (porque aparece y' e y com coeficientes que são funções de x).
  • O domínio é x>0, o que permite dividir por x quando preciso.

Passo 2

Colocar a EDO na forma padrão de equação linear de primeira ordem.
A forma padrão é
y'+p(x)\,y=q(x),
onde p(x) e q(x) são funções conhecidas de x.
Dividindo a equação dada por x (válido porque x>0), obtemos
y'+\frac{2}{x}\,y=\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}.
Aqui identificamos
p(x)=\frac{2}{x},\qquad q(x)=\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}.
Explicação rápida do método que vamos usar (sem detalhes técnicos demais): para resolver uma equação linear de primeira ordem usa-se o fator integrante (ou fator integrante) \mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right). Multiplicando a equação por \mu(x) transforma-se o lado esquerdo em uma derivada exata \big(\mu(x)y\big)', o que facilita integrar e achar y.

Passo 3

Calcular o fator integrante \mu(x).
Temos
\mu(x)=\exp\!\left(\int \frac{2}{x}\,dx\right).
Calcule a integral:
\int \frac{2}{x}\,dx = 2\ln x = \ln(x^{2}),
logo
\mu(x)=\exp(\ln(x^{2}))=x^{2}.
Observação: aqui usamos que x>0 para que \ln x seja bem definido e x^{2}>0.

Passo 4

Multiplicar a equação padrão por \mu(x)=x^{2}. A equação y'+\dfrac{2}{x}y=\dfrac{\operatorname{sen}(x)}{x} se torna
x^{2}y' + 2x y = x\,\operatorname{sen}(x).
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto x^{2}y. Verificação:
\big(x^{2}y\big)' = 2x y + x^{2}y'.
Portanto a equação é equivalente a
\big(x^{2}y\big)' = x\,\operatorname{sen}(x).
Explicação didática: a ideia é transformar a combinação y' e y em uma única derivada (\mu y)', o que permite integrar ambos os lados facilmente.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a x:
\int \big(x^{2}y\big)'\,dx = \int x\,\operatorname{sen}(x)\,dx.
O lado esquerdo dá x^{2}y. No lado direito precisamos calcular a integral
\int x\,\operatorname{sen}(x)\,dx.
Calcule \int x\sin x\,dx por integração por partes. Use as escolhas usuais:
  • Seja u=x então du=dx.
  • Seja dv=\sin x\,dx então v=-\cos x.
A fórmula de integração por partes é \int u\,dv = uv - \int v\,du. Aplicando:
\int x\sin x\,dx = x(-\cos x) - \int (-\cos x)\,dx = -x\cos x + \int \cos x\,dx.
E
\int \cos x\,dx = \sin x.
Assim
\int x\sin x\,dx = -x\cos x + \sin x + C,
onde C é constante de integração.

Passo 6

Volte para a igualdade integrada:
x^{2}y = -x\cos x + \sin x + C,
onde C é constante real arbitrária.
Agora isole y:
y(x) = \frac{-x\cos x + \sin x + C}{x^{2}}.
Podemos separar os termos para ficar mais claro:
y(x) = -\frac{\cos x}{x} + \frac{\sin x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}.
Esse é o conjunto de todas as soluções (solução geral), válida para x>0.

Passo 7

Analisar o comportamento quando x\to\infty.
Observe que \sin x e \cos x são funções limitadas: |\sin x|\le 1 e |\cos x|\le 1 para todo x. Portanto
\left|-\frac{\cos x}{x}\right|\le \frac{1}{x},\qquad \left|\frac{\sin x}{x^{2}}\right|\le \frac{1}{x^{2}},\qquad \left|\frac{C}{x^{2}}\right|=\frac{|C|}{x^{2}}.
Como \dfrac{1}{x}\to 0 e \dfrac{1}{x^{2}}\to 0 quando x\to\infty, cada um dos três termos tende a 0. Pelo critério da soma, a solução y(x) também tende a 0. Conclusão: todas as soluções da família encontrada vão para 0 quando x\to\infty.
Comentário motivador: mesmo que haja oscilações por causa de \sin x e \cos x, os fatores 1/x e 1/x^{2} fazem a amplitude dessas oscilações decair até zero.

Resposta

y(x)=-\dfrac{\cos x}{x}+\dfrac{\sin x}{x^{2}}+\dfrac{C}{x^{2}},\quad x>0.
Para qualquer constante C\in\mathbb{R}, tem-se \displaystyle \lim_{x\to\infty}y(x)=0.

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