Encontre a solução geral de cada EDO abaixo. Use a solução geral para dizer o que acontece com as soluções quando x \rightarrow \infty. x y^{\prime}+2 y=\operatorname{sen}(x), x>0
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial ordinária e pede duas coisas:
Equação dada: x\,y^{\prime}+2y=\operatorname{sen}(x), com x>0.
Pedidos:
Encontrar a solução geral da EDO.
Usar a solução geral para dizer o que acontece com as soluções quando x\to\infty.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A EDO é de primeira ordem e linear (porque aparece y' e y com coeficientes que são funções de x).
O domínio é x>0, o que permite dividir por x quando preciso.
Passo 2
Colocar a EDO na forma padrão de equação linear de primeira ordem.
A forma padrão é
y'+p(x)\,y=q(x),
onde p(x) e q(x) são funções conhecidas de x.
Dividindo a equação dada por x (válido porque x>0), obtemos
Explicação rápida do método que vamos usar (sem detalhes técnicos demais): para resolver uma equação linear de primeira ordem usa-se o fator integrante (ou fator integrante) \mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right). Multiplicando a equação por \mu(x) transforma-se o lado esquerdo em uma derivada exata \big(\mu(x)y\big)', o que facilita integrar e achar y.
Passo 3
Calcular o fator integrante \mu(x).
Temos
\mu(x)=\exp\!\left(\int \frac{2}{x}\,dx\right).
Calcule a integral:
\int \frac{2}{x}\,dx = 2\ln x = \ln(x^{2}),
logo
\mu(x)=\exp(\ln(x^{2}))=x^{2}.
Observação: aqui usamos que x>0 para que \ln x seja bem definido e x^{2}>0.
Passo 4
Multiplicar a equação padrão por \mu(x)=x^{2}. A equação y'+\dfrac{2}{x}y=\dfrac{\operatorname{sen}(x)}{x} se torna
x^{2}y' + 2x y = x\,\operatorname{sen}(x).
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto x^{2}y. Verificação:
\big(x^{2}y\big)' = 2x y + x^{2}y'.
Portanto a equação é equivalente a
\big(x^{2}y\big)' = x\,\operatorname{sen}(x).
Explicação didática: a ideia é transformar a combinação y' e y em uma única derivada (\mu y)', o que permite integrar ambos os lados facilmente.
Como \dfrac{1}{x}\to 0 e \dfrac{1}{x^{2}}\to 0 quando x\to\infty, cada um dos três termos tende a 0. Pelo critério da soma, a solução y(x) também tende a 0. Conclusão: todas as soluções da família encontrada vão para 0 quando x\to\infty.
Comentário motivador: mesmo que haja oscilações por causa de \sin x e \cos x, os fatores 1/x e 1/x^{2} fazem a amplitude dessas oscilações decair até zero.