Encontre a solução geral de cada EDO abaixo. Use a solução geral para dizer o que acontece com as soluções quando x \rightarrow \infty.
\left(1+x^{2}\right) y^{\prime}+4 x y=\frac{1}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas com a seguinte equação diferencial ordinária (EDO):
(1+x^{2})\,y'+4x\,y=\frac{1}{(1+x^{2})^{2}}.
As perguntas são:
  • Encontrar a solução geral y(x) dessa EDO.
  • Usar a solução geral para dizer o que acontece com as soluções quando x\to\infty.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Coeficiente de y' é 1+x^{2}, que nunca é zero para todo x\in\mathbb{R}.
  • Há um termo fonte à direita igual a \dfrac{1}{(1+x^{2})^{2}}.
  • Estamos interessados também no comportamento assintótico quando x\to\infty.

Passo 2

Colocar a EDO na forma linear padrão e explicar o método do fator integrante.
Primeiro dividimos toda a equação por 1+x^{2} (válido porque 1+x^{2}\neq0) para obter a forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem:
y'+\frac{4x}{1+x^{2}}\,y=\frac{1}{(1+x^{2})^{3}}.
Aqui a equação tem a forma
y'+p(x)\,y=q(x),
onde \;p(x)=\dfrac{4x}{1+x^{2}}\; e \;q(x)=\dfrac{1}{(1+x^{2})^{3}}.
Método do fator integrante (explicação curta e didática):
  • Para uma EDO y'+p(x)y=q(x), define-se o fator integrante
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right).
  • Multiplicando a equação por \mu(x) transforma-se o lado esquerdo na derivada do produto \dfrac{d}{dx}\big(\mu(x)\,y\big).
  • Então integra-se ambos os lados para obter \mu(x)\,y=\int \mu(x) q(x)\,dx + C.

Passo 3

Calcular explicitamente o fator integrante \mu(x).
Temos
\int p(x)\,dx=\int \frac{4x}{1+x^{2}}\,dx.
Para calcular essa integral, use a substituição u=1+x^{2}, então du=2x\,dx. Assim
\int \frac{4x}{1+x^{2}}\,dx = 2\int \frac{2x}{1+x^{2}}\,dx = 2\ln(1+x^{2}) + \text{const.}
(é suficiente tomar uma primitiva sem a constante para o fator integrante). Então
\mu(x)=\exp\!\big(2\ln(1+x^{2})\big)=(1+x^{2})^{2}.
Observe que \mu(x)=(1+x^{2})^{2} é positivo e bem definido para todo x.

Passo 4

Multiplicar a equação padrão por \mu(x) e usar a propriedade do produto.
Multiplicando y'+\dfrac{4x}{1+x^{2}}y=\dfrac{1}{(1+x^{2})^{3}} por \mu(x)=(1+x^{2})^{2} obtemos
(1+x^{2})^{2}y' + (1+x^{2})^{2}\cdot\frac{4x}{1+x^{2}}\,y = (1+x^{2})^{2}\cdot\frac{1}{(1+x^{2})^{3}}.
Simplificando o segundo termo à esquerda e o lado direito:
(1+x^{2})^{2}y' + 4x(1+x^{2})y = \frac{1}{1+x^{2}}.
Mas a escolha de \mu garante que o lado esquerdo é a derivada do produto (1+x^{2})^{2}y. De fato,
\frac{d}{dx}\big[(1+x^{2})^{2}y\big] = (1+x^{2})^{2}y' + \big(2(1+x^{2})\cdot 2x\big)\frac{y}{2(1+x^{2})}?
(para evitar confusão: calcule diretamente a derivada do produto: \dfrac{d}{dx}[(1+x^{2})^{2}] = 2(1+x^{2})\cdot 2x =4x(1+x^{2}), logo aplicando regra do produto obtemos exatamente o termo mostrado). Portanto
\frac{d}{dx}\big[(1+x^{2})^{2}y\big]=\frac{1}{1+x^{2}}.

Passo 5

Integrar ambos os lados para obter a solução geral.
Integramos em x:
(1+x^{2})^{2}y = \int \frac{1}{1+x^{2}}\,dx + C.
A primitiva de \dfrac{1}{1+x^{2}} é \arctan x, assim
(1+x^{2})^{2}y = \arctan x + C,
onde C é a constante de integração. Logo a solução geral é
y(x)=\frac{\arctan x + C}{(1+x^{2})^{2}}.

Passo 6

Verificação rápida (sanity check) e interpretação da constante C.
Verificação direta: derivando (1+x^{2})^{2}y com y dado pela fórmula obtida, obtém-se \dfrac{d}{dx}[(1+x^{2})^{2}y]=\dfrac{d}{dx}(\arctan x + C)=\dfrac{1}{1+x^{2}}, que é exatamente a equação que obtivemos antes de integrar. Portanto a solução está correta. A constante C corresponde à família de soluções gerais — diferentes C geram diferentes curvas soluções.

Passo 7

Analisar o comportamento quando x\to\infty.
Primeiro observe que
\lim_{x\to\infty}\arctan x=\frac{\pi}{2}.
Portanto o numerador \arctan x + C tende para \dfrac{\pi}{2}+C, um número finito. O denominador (1+x^{2})^{2} cresce como x^{4} quando x\to\infty. Assim, em geral,
y(x)\sim\frac{\tfrac{\pi}{2}+C}{x^{4}}\qquad\text{quando }x\to\infty,
ou seja, y(x)\to 0 quando x\to\infty.
Caso especial: se escolher C=-\tfrac{\pi}{2}, o termo constante no numerador cancela e o decaimento fica ainda mais rápido. Para ver isso use a expansão assintótica \arctan x=\tfrac{\pi}{2}-\dfrac{1}{x}+o\!\big(\dfrac{1}{x}\big); então se C=-\tfrac{\pi}{2} temos \arctan x + C \sim -\dfrac{1}{x} e
y(x)\sim -\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{x^{4}}=-\frac{1}{x^{5}},
logo também tende a 0, mas com taxa 1/x^{5}.
Conclusão: todas as soluções da família convergem para 0 quando x\to\infty; a taxa típica é 1/x^{4}, salvo cancelação especial que dá decaimento mais rápido.

Resposta

y(x)=\frac{\arctan x + C}{(1+x^{2})^{2}},\quad C\in\mathbb{R}.
Todas as soluções satisfazem \displaystyle \lim_{x\to\infty}y(x)=0 (decai tipicamente como \sim(\tfrac{\pi}{2}+C)/x^{4}; se C=-\tfrac{\pi}{2} o decaimento é mais rápido, \sim -1/x^{5}).

Exercícios relacionados