Encontre a solução geral de cada EDO abaixo. Use a solução geral para dizer o que acontece com as soluções quando
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas com a seguinte equação diferencial ordinária (EDO):
As perguntas são:
- Encontrar a solução geral
dessa EDO. - Usar a solução geral para dizer o que acontece com as soluções quando
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- Coeficiente de
é , que nunca é zero para todo . - Há um termo fonte à direita igual a
. - Estamos interessados também no comportamento assintótico quando
.
Passo 2
Colocar a EDO na forma linear padrão e explicar o método do fator integrante.
Primeiro dividimos toda a equação por
(válido porque
) para obter a forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem:
Aqui a equação tem a forma
onde
e
.
Método do fator integrante (explicação curta e didática):
- Para uma EDO
, define-se o fator integrante
- Multiplicando a equação por
transforma-se o lado esquerdo na derivada do produto . - Então integra-se ambos os lados para obter
.
Passo 3
Calcular explicitamente o fator integrante
.
Temos
Para calcular essa integral, use a substituição
, então
. Assim
(é suficiente tomar uma primitiva sem a constante para o fator integrante). Então
Observe que
é positivo e bem definido para todo
.
Passo 4
Multiplicar a equação padrão por
e usar a propriedade do produto.
Multiplicando
por
obtemos
Simplificando o segundo termo à esquerda e o lado direito:
Mas a escolha de
garante que o lado esquerdo é a derivada do produto
. De fato,
(para evitar confusão: calcule diretamente a derivada do produto:
, logo aplicando regra do produto obtemos exatamente o termo mostrado). Portanto
Passo 5
Integrar ambos os lados para obter a solução geral.
Integramos em
:
A primitiva de
é
, assim
onde
é a constante de integração. Logo a solução geral é
Passo 6
Verificação rápida (sanity check) e interpretação da constante
.
Verificação direta: derivando
com
dado pela fórmula obtida, obtém-se
, que é exatamente a equação que obtivemos antes de integrar. Portanto a solução está correta. A constante
corresponde à família de soluções gerais — diferentes
geram diferentes curvas soluções.
Passo 7
Analisar o comportamento quando
.
Primeiro observe que
Portanto o numerador
tende para
, um número finito. O denominador
cresce como
quando
. Assim, em geral,
ou seja,
quando
.
Caso especial: se escolher
, o termo constante no numerador cancela e o decaimento fica ainda mais rápido. Para ver isso use a expansão assintótica
; então se
temos
e
logo também tende a
, mas com taxa
.
Conclusão: todas as soluções da família convergem para
quando
; a taxa típica é
, salvo cancelação especial que dá decaimento mais rápido.
Resposta
Todas as soluções satisfazem
(decai tipicamente como
; se
o decaimento é mais rápido,
).