Encontre a solução geral de cada EDO abaixo. Use a solução geral para dizer o que acontece com as soluções quando x \rightarrow \infty.
x y^{\prime}-y=x^{2} e^{-x}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial ordinária
x\,y'(x)-y(x)=x^{2}e^{-x},
e pede duas coisas:
  • Encontrar a solução geral y(x) da EDO.
  • Usar essa solução geral para dizer o que acontece com as soluções quando x\rightarrow\infty.
Informações relevantes fornecidas:
  • A EDO envolve x e y(x) e está escrita com x\,y'-y do lado esquerdo.
  • A equação não está definida em x=0 (porque há multiplicação por x e depois dividiremos por x), logo as soluções serão consideradas em intervalos onde x\neq0 (por exemplo x>0 ou x<0).
  • Não há condições iniciais: é pedida a solução geral com constante arbitrária.

Passo 2

Colocar a equação em forma linear padrão. Para isso dividimos ambos os lados por x (válido para x\neq0), obtendo
y'(x)-\frac{1}{x}y(x)=x e^{-x}.
Explicando devagar: aqui y'(x) é a derivada de y em relação a x. A forma geral de uma EDO linear de primeira ordem é
y'+p(x)y=q(x),
onde p(x) e q(x) são funções conhecidas. No nosso caso temos p(x)=-\dfrac{1}{x} e q(x)=x e^{-x}.

Passo 3

Método do fator integrante (integrating factor). A ideia: multiplicar a equação por uma função \mu(x) tal que o lado esquerdo se transforme na derivada de \mu(x)y(x). O fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right)=\exp\!\left(\int -\frac{1}{x}\,dx\right).
Calcule a integral:
\int -\frac{1}{x}\,dx = -\ln|x| = \ln|x|^{-1}.
Portanto
\mu(x)=\exp\!\bigl(-\ln|x|\bigr)=|x|^{-1}.
Observação prática: em cada intervalo onde x>0 ou x<0 pode-se tomar \mu(x)=1/x (para x>0) ou \mu(x)=-1/x (para x<0); o procedimento funciona em cada intervalo separado. Para simplificar a notação e a intuição, vamos usar diretamente a observação algébrica abaixo que evita complicações com o valor absoluto.

Passo 4

Reconhecimento direto (forma mais simples): note que
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{y(x)}{x}\right)=\frac{x y'(x)-y(x)}{x^{2}}.
Isto é uma identidade que vem da regra do quociente ou da regra do produto (escrevendo y/x=y\cdot x^{-1} e derivando). Usando a equação original x y'-y=x^{2}e^{-x} e dividindo ambos os lados por x^{2}, obtemos exatamente
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{y(x)}{x}\right)=e^{-x}.
Explicando: dividimos por x^{2} para transformar o lado esquerdo na derivada do quociente y/x, e o lado direito fica e^{-x}.

Passo 5

Integrar ambos os lados. A integral de e^{-x} é -e^{-x} (mais uma constante). Portanto
\frac{y(x)}{x}=\int e^{-x}\,dx = -e^{-x}+C,
onde C é a constante de integração (arbitrária). Multiplicando por x obtemos a solução geral
y(x)= -x e^{-x} + C x.
Explicando o significado de C: cada valor de C dá uma solução particular; sem condição inicial C permanece livre. Lembrete útil: esta solução é válida em qualquer intervalo onde x\neq0; em geral pode-se ter constantes diferentes em intervalos disjuntos que incluem x=0 como ponto excluído.

Passo 6

Interpretar a solução encontrada: escrevendo de forma clara
y(x)=C x - x e^{-x}.
Aqui a primeira parcela C x é a solução geral da equação homogênea associada (quando o lado direito é zero) e a segunda parcela -x e^{-x} é uma solução particular da EDO não-homogênea.

Passo 7

Analisar o comportamento quando [x\rightarrow\infty). Para isso observe os dois termos de y(x):
  • O termo C x cresce linearmente com x (se C\neq0).
  • O termo -x e^{-x} tende a zero quando x\rightarrow\infty. Explicação rápida: e^{-x} decai exponencialmente mais rápido que x cresce; formalmente \lim_{x\to\infty} x e^{-x}=0.
Portanto, ao somar os termos:
  • Se C\neq0, o termo dominante quando x\rightarrow\infty é C x, logo
\lim_{x\to\infty} y(x)= \begin{cases} +\infty, & \text{se } C>0,\\[4pt] -\infty, & \text{se } C<0. \end{cases}
  • Se C=0\], então \(y(x)=-x e^{-x} e
\lim_{x\to\infty} y(x)=0.]

Resposta

y(x)=C x - x e^{-x},\quad C\in\mathbb{R}\)\n Se \(C\neq0\) então \(y(x)\sim C x\) e \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}y(x)=\begin{cases}+\infty,&C>0,\\[4pt]-\infty,&C<0,\end{cases} \n
Se C=0 então \displaystyle\lim_{x\to\infty}y(x)=0.]

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