Encontre a solução geral de cada EDO abaixo. Use a solução geral para dizer o que acontece com as soluções quando
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária de primeira ordem
O que pede:
- Encontrar a solução geral
desta EDO. - Usar a solução geral para dizer o que acontece com as soluções quando
.
Informações relevantes (já explícitas no enunciado):
- É uma EDO linear de primeira ordem com coeficientes constantes.
- Não foi dada condição inicial; portanto vou achar a solução geral com uma constante arbitrária
.
Passo 2
Colocar a EDO na forma padrão de equação linear de primeira ordem. Dividindo tudo por
:
Explicando a ideia que vou usar (método do fator integrante): para uma EDO da forma
o fator integrante é
pois multiplicando a EDO por
a parte esquerda fica exatamente a derivada do produto
. A vantagem é transformar a EDO numa igualdade que se integra diretamente.
Passo 3
Calcular o fator integrante para
:
Multiplicando a equação padrão por
:
A esquerda é a derivada do produto:
Passo 4
Integrar ambos os lados em
. Primeiro calcular a integral do lado direito:
Fazer por partes (escolha
,
). Então
e
. Assim
Multiplicando por
:
Portanto, integrando a igualdade do passo anterior:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Isolar
dividindo por
:
Este é o resultado da aplicação do fator integrante: a solução geral é a soma de uma solução particular
e da solução geral da homogênea
.
Passo 6
(Solicitação de didática extra) Mostrar rapidamente outro método comum — coeficientes indeterminados — para checar: tentar
. Então
. Substituindo em
:
Comparando coeficientes de
e termos constantes:
Assim
e a solução geral novamente é
. Bom para verificar mais rápido em provas.
Passo 7
Analisar o comportamento quando
.
Observação sobre os termos da solução geral
:
- O termo
é exponencial com coeficiente de decaimento . Portanto
para qualquer constante finita
. Esse termo é um termo transiente que desaparece quando
fica grande.
- O termo
cresce linearmente com . Logo as soluções dominantes para grandes são da forma .
Conclusão qualitativa: todas as soluções tendem a ficar cada vez próximas da reta particular
quando
aumenta; em particular
quando
pois a parte linear domina.
Resposta
Quando