Encontre a solução geral de cada EDO abaixo. Use a solução geral para dizer o que acontece com as soluções quando x \rightarrow \infty.
2 y^{\prime}+y=3 x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária de primeira ordem
2\,y'(x)+y(x)=3x.
O que pede:
  • Encontrar a solução geral y(x) desta EDO.
  • Usar a solução geral para dizer o que acontece com as soluções quando x\rightarrow\infty.
Informações relevantes (já explícitas no enunciado):
  • É uma EDO linear de primeira ordem com coeficientes constantes.
  • Não foi dada condição inicial; portanto vou achar a solução geral com uma constante arbitrária C.

Passo 2

Colocar a EDO na forma padrão de equação linear de primeira ordem. Dividindo tudo por 2:
y'(x)+\frac{1}{2}y(x)=\frac{3}{2}x.
Explicando a ideia que vou usar (método do fator integrante): para uma EDO da forma
y'+p(x)y=q(x),
o fator integrante é
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx},
pois multiplicando a EDO por \mu(x) a parte esquerda fica exatamente a derivada do produto \big(\mu(x)y(x)\big)'. A vantagem é transformar a EDO numa igualdade que se integra diretamente.

Passo 3

Calcular o fator integrante para p(x)=\dfrac{1}{2}:
\mu(x)=e^{\int \tfrac{1}{2}\,dx}=e^{x/2}.
Multiplicando a equação padrão por \mu(x):
e^{x/2}y'(x)+\frac{1}{2}e^{x/2}y(x)=\frac{3}{2}x e^{x/2}.
A esquerda é a derivada do produto:
\big(e^{x/2}y(x)\big)'=\frac{3}{2}x e^{x/2}.

Passo 4

Integrar ambos os lados em x. Primeiro calcular a integral do lado direito:
\int \frac{3}{2}x e^{x/2}\,dx.
Fazer por partes (escolha u=x, dv=e^{x/2}dx). Então du=dx e v=\int e^{x/2}dx=2e^{x/2}. Assim
\int x e^{x/2}\,dx = x\cdot 2e^{x/2} - \int 2e^{x/2}\,dx = 2x e^{x/2} - 4 e^{x/2} + C.
Multiplicando por \tfrac{3}{2}:
\int \frac{3}{2}x e^{x/2}\,dx = \frac{3}{2}\big(2x e^{x/2} - 4 e^{x/2}\big) + C = 3x e^{x/2} - 6 e^{x/2} + C.
Portanto, integrando a igualdade do passo anterior:
e^{x/2}y(x)=3x e^{x/2}-6 e^{x/2}+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolar y(x) dividindo por e^{x/2}:
y(x)=3x-6+C e^{-x/2}.
Este é o resultado da aplicação do fator integrante: a solução geral é a soma de uma solução particular y_p(x)=3x-6 e da solução geral da homogênea y_h(x)=C e^{-x/2}.

Passo 6

(Solicitação de didática extra) Mostrar rapidamente outro método comum — coeficientes indeterminados — para checar: tentar y_p(x)=ax+b. Então y_p'(x)=a. Substituindo em 2y'+y=3x:
2a+(ax+b)=3x.
Comparando coeficientes de x e termos constantes:
a=3,\qquad 2a+b=0\Rightarrow b=-6.
Assim y_p(x)=3x-6 e a solução geral novamente é y=3x-6+C e^{-x/2}. Bom para verificar mais rápido em provas.

Passo 7

Analisar o comportamento quando x\rightarrow\infty.
Observação sobre os termos da solução geral \,y(x)=3x-6+C e^{-x/2}:
  • O termo C e^{-x/2} é exponencial com coeficiente de decaimento -\tfrac{1}{2}. Portanto
\lim_{x\to\infty} C e^{-x/2}=0
para qualquer constante finita C. Esse termo é um termo transiente que desaparece quando x fica grande.
  • O termo 3x-6 cresce linearmente com x. Logo as soluções dominantes para grandes x são da forma 3x-6.
Conclusão qualitativa: todas as soluções tendem a ficar cada vez próximas da reta particular y=3x-6 quando x aumenta; em particular y(x)\to\infty quando x\to\infty pois a parte linear domina.

Resposta

y(x)=3x-6+C e^{-x/2},\quad C\in\mathbb{R}
Quando x\rightarrow\infty tem-se C e^{-x/2}\rightarrow0 e y(x)\sim 3x-6 (ou seja, as soluções aproximam-se da reta y=3x-6 e crescem linearmente).

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