Encontre a solução geral de cada EDO abaixo. Use a solução geral para dizer o que acontece com as soluções quando
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Encontrar a solução geral da equação diferencial ordinária
- Usar a solução geral para dizer o que acontece com as soluções quando
.
Informações dadas:
- É uma equação diferencial de primeira ordem, linear, com derivada
em relação a . - O termo do lado direito é o polinômio
.
Passo 2
Vamos primeiro pôr a equação na forma padrão de uma linear de primeira ordem. Para isso dividimos ambos os lados por
:
Aqui a equação está no formato
com
e
.
Explicação curta do método que vamos usar (integrating factor): para uma equação
existe um fator multiplicativo
tal que, ao multiplicar a equação por
, o lado esquerdo se torna a derivada de
. A partir daí integramos ambos os lados para encontrar
. Isto transforma a equação num problema de integração simples.
Passo 3
Calcular o fator integrante
:
Comentário:
é sempre positiva e simplifica a equação porque
.
Passo 4
Multiplicamos a equação padrão por
:
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto:
Agora integramos ambos os lados em relação a
.
Passo 5
Integramos:
onde
é a constante de integração.
Vamos calcular a integral
passo a passo por partes.
Defina
Fazemos integração por partes com
e
. Então
e
(porque
, aqui
).
Aplicando :
Aplicando
Agora calcule
. Novamente por partes: tome
,
. Assim
e
. Então
Substituindo
em
:
Fatorando
:
Portanto
Passo 6
Voltando à integração obtivemos
Dividindo por
para isolar
:
Expandindo a parte polinomial, se preferir:
Aqui
é uma constante arbitrária real — é a constante que aparece ao integrar.
Comentário didático: a solução geral é soma da solução particular
(uma solução fixa não dependente de
) e da solução geral da equação homogênea associada
. A equação homogênea é
, cuja solução é
.
Passo 7
Análise do comportamento quando
.
- O termo homogêneo
tende a zero quando , porque decai exponencialmente rápido para . - A parte particular
é um polinômio de grau e cresce para quando (o termo dominante é , positivo).
Portanto qualquer solução da forma encontrada satisfaz
isto é, a componente exponencial transiente some e a solução cresce como o polinômio de grau
dominado por
. Em particular
e
.
Força aí — a solução está pronta e, mesmo que a constante
mude a solução para valores finitos de
, para
grande todas as soluções ficam muito próximas do polinômio
.
Resposta
Quando