Encontre a solução geral de cada EDO abaixo. Use a solução geral para dizer o que acontece com as soluções quando x \rightarrow \infty.
2 y^{\prime}+y=3 x^{2}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Encontrar a solução geral da equação diferencial ordinária
2\,y'+y=3x^{2}.
  • Usar a solução geral para dizer o que acontece com as soluções quando x\to\infty.
Informações dadas:
  • É uma equação diferencial de primeira ordem, linear, com derivada y' em relação a x.
  • O termo do lado direito é o polinômio 3x^{2}.

Passo 2

Vamos primeiro pôr a equação na forma padrão de uma linear de primeira ordem. Para isso dividimos ambos os lados por 2:
y'+\frac{1}{2}y=\frac{3}{2}x^{2}.
Aqui a equação está no formato
y'+p(x)y=q(x),
com p(x)=\dfrac{1}{2} e q(x)=\dfrac{3}{2}x^{2}.
Explicação curta do método que vamos usar (integrating factor): para uma equação y'+p(x)y=q(x) existe um fator multiplicativo \mu(x)=e^{\int p(x)\,dx} tal que, ao multiplicar a equação por \mu(x), o lado esquerdo se torna a derivada de \mu(x)y. A partir daí integramos ambos os lados para encontrar y. Isto transforma a equação num problema de integração simples.

Passo 3

Calcular o fator integrante \mu(x):
\mu(x)=e^{\int \frac{1}{2}\,dx}=e^{x/2}.
Comentário: \mu(x) é sempre positiva e simplifica a equação porque \big(e^{x/2}y\big)'=e^{x/2}y'+\tfrac{1}{2}e^{x/2}y.

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por \mu(x)=e^{x/2}:
e^{x/2}y'+\frac{1}{2}e^{x/2}y=\frac{3}{2}x^{2}e^{x/2}.
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto:
\big(e^{x/2}y\big)'=\frac{3}{2}x^{2}e^{x/2}.
Agora integramos ambos os lados em relação a x.

Passo 5

Integramos:
e^{x/2}y=\int \frac{3}{2}x^{2}e^{x/2}\,dx + C,
onde C é a constante de integração.
Vamos calcular a integral \displaystyle \int x^{2}e^{x/2}\,dx passo a passo por partes.
Defina
I=\int x^{2}e^{x/2}\,dx.
Fazemos integração por partes com u=x^{2} e dv=e^{x/2}dx. Então du=2x\,dx e v=\displaystyle\int e^{x/2}dx=2e^{x/2} (porque \int e^{ax}dx=e^{ax}/a, aqui a=\tfrac{1}{2}).
Aplicando I=uv-\int v\,du:
I=2x^{2}e^{x/2}-4\int x e^{x/2}\,dx.
Agora calcule J=\int x e^{x/2}\,dx. Novamente por partes: tome u=x, dv=e^{x/2}dx. Assim du=dx e v=2e^{x/2}. Então
J=2x e^{x/2}-\int 2e^{x/2}\,dx=2x e^{x/2}-4e^{x/2}.
Substituindo J em I:
I=2x^{2}e^{x/2}-4\big(2x e^{x/2}-4e^{x/2}\big) =2x^{2}e^{x/2}-8x e^{x/2}+16e^{x/2}.
Fatorando e^{x/2}:
I=e^{x/2}\big(2x^{2}-8x+16\big).
Portanto
\int \frac{3}{2}x^{2}e^{x/2}\,dx=\frac{3}{2}I = \frac{3}{2}e^{x/2}\big(2x^{2}-8x+16\big) =3e^{x/2}\big(x^{2}-4x+8\big).

Passo 6

Voltando à integração obtivemos
e^{x/2}y=3e^{x/2}\big(x^{2}-4x+8\big)+C.
Dividindo por e^{x/2} para isolar y:
y=3\big(x^{2}-4x+8\big)+C e^{-x/2}.
Expandindo a parte polinomial, se preferir:
y=3x^{2}-12x+24 + C e^{-x/2}.
Aqui C é uma constante arbitrária real — é a constante que aparece ao integrar.
Comentário didático: a solução geral é soma da solução particular y_{p}(x)=3x^{2}-12x+24 (uma solução fixa não dependente de C) e da solução geral da equação homogênea associada y_{h}(x)=C e^{-x/2}. A equação homogênea é 2y'+y=0, cuja solução é y_h=C e^{-x/2}.

Passo 7

Análise do comportamento quando x\to\infty.
  • O termo homogêneo C e^{-x/2} tende a zero quando x\to\infty, porque e^{-x/2} decai exponencialmente rápido para 0.
  • A parte particular 3x^{2}-12x+24 é um polinômio de grau 2 e cresce para +\infty quando x\to\infty (o termo dominante é 3x^{2}, positivo).
Portanto qualquer solução da forma encontrada satisfaz
y(x)=3x^{2}-12x+24 + C e^{-x/2}\sim 3x^{2}-12x+24 \quad\text{quando }x\to\infty,
isto é, a componente exponencial transiente some e a solução cresce como o polinômio de grau 2 dominado por 3x^{2}. Em particular \displaystyle \lim_{x\to\infty} C e^{-x/2}=0 e \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{y(x)}{x^{2}}=3.
Força aí — a solução está pronta e, mesmo que a constante C mude a solução para valores finitos de x, para x grande todas as soluções ficam muito próximas do polinômio 3x^{2}-12x+24.

Resposta

y(x)=3x^{2}-12x+24 + C e^{-x/2},\\ C\in\mathbb{R}.\n
Quando x\to\infty, C e^{-x/2}\to0 e y(x)\sim 3x^{2}-12x+24 (o comportamento domina por 3x^{2}).

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