Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial.
\left\{\begin{array}{l}x y^{\prime}+2 y=\operatorname{sen}(x), \\\ y\left(\frac{\pi}{2}\right)=1 .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial com as informações abaixo:
  • Equação diferencial: x\,y^{\prime}+2y=\operatorname{sen}(x).
  • Condição inicial: y\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1.
O que é pedido: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial dada.
Informações relevantes do enunciado:
  • A equação envolve o coeficiente x multiplicando y', portanto devemos ter x\neq 0 para dividir por x quando necessário.
  • A condição inicial está em x=\dfrac{\pi}{2}, que é um ponto positivo, então buscaremos a solução em um intervalo que contenha \dfrac{\pi}{2} (por exemplo x>0).

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão y'+p(x)y=q(x) exige dividir por x (lembrando que x\neq0). Dividindo obtemos:
y' + \frac{2}{x}\,y = \frac{\operatorname{sen}(x)}{x}.
Aqui identificamos p(x)=\dfrac{2}{x} e q(x)=\dfrac{\operatorname{sen}(x)}{x}.

Passo 3

Vamos usar o fator integrante. Explico o que é e por que funciona: para uma equação da forma y'+p(x)y=q(x) define-se o fator integrante
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx},
porque ao multiplicar a equação por \mu(x) o lado esquerdo se torna a derivada do produto (\mu y)'. Calculemos \mu(x):
\mu(x)=e^{\int \frac{2}{x}\,dx}=e^{2\ln|x|}=|x|^{2}=x^{2},
onde usamos que x^2 é positivo; como trabalhamos no intervalo com x>0 (contendo \pi/2), podemos tomar \mu(x)=x^2.

Passo 4

Multiplicando a equação padronizada por x^2 obtemos:
x^2 y' + 2x y = x\,\operatorname{sen}(x).
Agora reconhecemos o lado esquerdo como a derivada do produto x^2 y. De fato:
\frac{d}{dx}\big(x^2 y\big)=x^2 y' + 2x y.
Portanto a equação vira
\frac{d}{dx}\big(x^2 y\big)=x\,\operatorname{sen}(x).

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
x^2 y = \int x\,\operatorname{sen}(x)\,dx + C,
onde C é constante de integração. Agora calculamos a integral \int x\sin x\,dx por partes. Escolhemos u=x e dv=\sin x\,dx. Então du=dx e v=-\cos x. Pela fórmula de integração por partes:
\int x\sin x\,dx = u v - \int v\,du = -x\cos x - \int(-\cos x)\,dx = -x\cos x + \int \cos x\,dx.
Como \int \cos x\,dx=\sin x, concluímos:
\int x\sin x\,dx = -x\cos x + \sin x + \text{const}.

Passo 6

Voltando à solução geral, temos:
x^2 y = -x\cos x + \sin x + C.
Isolando y:
y(x)=\frac{-x\cos x+\sin x + C}{x^2},\qquad x\neq 0.

Passo 7

Agora aplicamos a condição inicial y\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1 para determinar C. Avaliando em x=\dfrac{\pi}{2}:
  • \cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0,
  • \sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1,
  • \left(\dfrac{\pi}{2}\right)^2=\dfrac{\pi^2}{4}.
Substituindo na expressão de y:
1 = y\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=\frac{-\tfrac{\pi}{2}\cdot 0 + 1 + C}{\tfrac{\pi^2}{4}}=\frac{1+C}{\tfrac{\pi^2}{4}}.
Multiplicando ambos os lados por \dfrac{\pi^2}{4} obtemos 1+C=\dfrac{\pi^2}{4}. Logo
C=\frac{\pi^2}{4}-1.

Passo 8

Substituindo o valor de C na solução geral obtemos a solução particular que satisfaz a condição inicial:
y(x)=\frac{-x\cos x+\sin x + \dfrac{\pi^2}{4}-1}{x^2},\qquad x>0.
Observação final: a solução está definida para x\neq 0; como a condição inicial fixa um ponto positivo, descrevemos a solução para x>0. Se fosse necessário o intervalo maximal onde a solução existe, seria qualquer intervalo que não contenha 0, por exemplo (0,\infty).

Resposta

y(x)=\frac{-x\cos x+\sin x + \dfrac{\pi^2}{4}-1}{x^2},\qquad x>0

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