Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial.
Passo 1
O enunciado nos dá o problema de valor inicial com as informações abaixo:
- Equação diferencial:
. - Condição inicial:
.
O que é pedido: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial dada.
Informações relevantes do enunciado:
- A equação envolve o coeficiente
multiplicando , portanto devemos ter para dividir por quando necessário. - A condição inicial está em
, que é um ponto positivo, então buscaremos a solução em um intervalo que contenha (por exemplo ).
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão
exige dividir por
(lembrando que
). Dividindo obtemos:
Aqui identificamos
e
.
Passo 3
Vamos usar o fator integrante. Explico o que é e por que funciona: para uma equação da forma
define-se o fator integrante
porque ao multiplicar a equação por
o lado esquerdo se torna a derivada do produto
. Calculemos
:
onde usamos que
é positivo; como trabalhamos no intervalo com
(contendo
), podemos tomar
.
Passo 4
Multiplicando a equação padronizada por
obtemos:
Agora reconhecemos o lado esquerdo como a derivada do produto
. De fato:
Portanto a equação vira
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é constante de integração. Agora calculamos a integral
por partes. Escolhemos
e
. Então
e
. Pela fórmula de integração por partes:
Como
, concluímos:
Passo 6
Voltando à solução geral, temos:
Isolando
:
Passo 7
Agora aplicamos a condição inicial
para determinar
. Avaliando em
:
-
, -
, -
.
Substituindo na expressão de
:
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
. Logo
Passo 8
Substituindo o valor de
na solução geral obtemos a solução particular que satisfaz a condição inicial:
Observação final: a solução está definida para
; como a condição inicial fixa um ponto positivo, descrevemos a solução para
. Se fosse necessário o intervalo maximal onde a solução existe, seria qualquer intervalo que não contenha
, por exemplo
.