Encontre a solução geral de cada EDO abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo linear de primeira ordem. A equação que temos é:
Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante. Esse método ajuda a transformar a equação em uma forma que seja fácil de integrar e encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações lineares:
Para isso, dividimos todos os termos por $ x $:
Aqui, identificamos que:
- $ P(x) = -\frac{2}{x} $
- $ Q(x) = x^{2} \cos(4x) $
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é uma função que multiplicamos em toda a equação para facilitar a integração. O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
Substituindo $ P(x) = -\frac{2}{x} $:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ \mu(x) = x^{-2} $:
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada de $ \mu(x) y $:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a $ x $:
Isso resulta em:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 6
Por fim, isolamos $ y $ para encontrar a solução geral:
Podemos distribuir o $ x^{2} $:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.