Encontre a solução geral de cada EDO abaixo:
x y^prime-2 y=x^3 cos (4 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo linear de primeira ordem. A equação que temos é:
x y^prime - 2 y = x^3 cos(4x)
Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante. Esse método ajuda a transformar a equação em uma forma que seja fácil de integrar e encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações lineares:
y^prime + P(x) y = Q(x)
Para isso, dividimos todos os termos por $ x $:
x
Aqui, identificamos que:
  • $ P(x) = -\frac{2}{x} $
  • $ Q(x) = x^{2} \cos(4x) $

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é uma função que multiplicamos em toda a equação para facilitar a integração. O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
mu(x)
Substituindo $ P(x) = -\frac{2}{x} $:
mu(x) = e^integral P(x) dx

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ \mu(x) = x^{-2} $:
mu(x) = x^-2
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada de $ \mu(x) y $:
x^-2 y^prime - 2x^3 y = cos(4x)

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a $ x $:
x
Isso resulta em:
integral ddx (x^-2 y) dx = integral cos(4x) dx
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, isolamos $ y $ para encontrar a solução geral:
y
Podemos distribuir o $ x^{2} $:
y = x^2 ( 14 sin(4x) + C )

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = 14 x^2 sin(4x) + C x^2
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.

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