Calcule integralC d sraizx^2+y^2+z^2, onde C é a primeira espira da linha helicoidal x=a cos t, y=a sen t, z=b t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha integralC d sraizx^2+y^2+z^2, onde C é a primeira espira de uma linha helicoidal definida por x = a cos t, y = a sin t e z = b t. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e parametrização de curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva C. A parametrização já está dada:
x(t) = a cos t, y(t) = a sin t, z(t) = b t
onde t varia de 0 a 2pi para cobrir a primeira espira da hélice.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a expressão para d s, que é o elemento de comprimento ao longo da curva. Para isso, calculamos as derivadas de x(t), y(t) e z(t) em relação a t:
dxdt = -a sin t, dydt = a cos t, dzdt = b
Então, o elemento de arco d s é:
d s = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 + (dzdt)^2 , dt = raiza^2 sin^2 t + a^2 cos^2 t + b^2 , dt
Simplificando usando sin^2 t + cos^2 t = 1:
d s = raiza^2 + b^2 , dt

Passo 4

Agora, substituímos x(t), y(t) e z(t) na expressão raizx^2+y^2+z^2:
raizx^2+y^2+z^2 = raiza^2 cos^2 t + a^2 sin^2 t + b^2 t^2 = raiza^2 + b^2 t^2

Passo 5

Nossa integral fica então:
integral0^2pi raiza^2 + b^2 , dtraiza^2 + b^2 t^2 = raiza^2 + b^2 integral0^2pi dtraiza^2 + b^2 t^2

Passo 6

Para resolver a integral integral dtraiza^2 + b^2 t^2, fazemos a substituição u = b t, então du = b dt ou dt = dub:
raiza^2 + b^2 cdot 1b integral0^2pi b duraiza^2 + u^2 = raiza^2 + b^2b [ ln(u + raiza^2 + u^2) ]0^2pi b
Substituindo os limites:
raiza^2 + b^2b ( ln(2pi b + raiza^2 + (2pi b)^2) - ln(a) )

Resposta

A integral vale:
raiza^2+b^2b ln( 2pi b + raiza^2 + 4pi^2 b^2a )

Exercícios relacionados