Calcule
, onde
é a primeira espira da linha helicoidal
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha
, onde
é a primeira espira de uma linha helicoidal definida por
,
e
. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e parametrização de curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva
. A parametrização já está dada:
onde
varia de
a
para cobrir a primeira espira da hélice.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a expressão para
, que é o elemento de comprimento ao longo da curva. Para isso, calculamos as derivadas de
,
e
em relação a
:
Então, o elemento de arco
é:
Simplificando usando
:
Passo 4
Agora, substituímos
,
e
na expressão
:
Passo 5
Nossa integral fica então:
Passo 6
Para resolver a integral
, fazemos a substituição
, então
ou
:
Substituindo os limites:
Resposta
A integral vale: