Encontre a solução geral das equações:
(x^2+1)^12 y^prime-x y^3=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial (x^2+1)^1/2y' - x y^3 = 0. Isso é uma equação de variáveis separáveis; vamos usar separação de variáveis e integração para resolver.

Passo 2

Reescrevendo a derivada como (x^2+1)^1/2dydx = x y^3, podemos separar variáveis:
dyy^3 = xraizx^2+1,dx

Passo 3

Agora integramos ambos os lados. No lado esquerdo:
integral y^-3dy = -12y^2 + C1

Passo 4

No lado direito:
integral xraizx^2+1,dx = raizx^2+1 + C2

Passo 5

Igualando as duas integrais (absorvendo constantes em uma só, chamando de C) obtemos:
-12y^2 = raizx^2+1 + C

Passo 6

Multiplicando por -2 e redefinindo a constante K = -2C, chega-se a:
1y^2 = K - 2raizx^2+1

Passo 7

Isolando y e incluindo o sinal pm:
y(x) = pm1raizK - 2raizx^2+1

Resposta

y(x) = pm1raizK - 2raizx^2+1, onde K é constante arbitrária.

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