Encontre a solução geral de cada EDO abaixo:
y^prime-5 x y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que é $ y’ - 5x y = 0 $. O conteúdo que vamos usar aqui é de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar um fator integrante que facilita a resolução da EDO.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão das equações lineares de primeira ordem, que é:
y' + P(x) y = Q(x)
No nosso caso, temos:
y' - 5x y = 0
Aqui, $ P(x) = -5x $ e $ Q(x) = 0 $.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante $ \mu(x) $, que é dado por:
mu(x)
Substituindo $ P(x) = -5x $:
mu(x) = e^integral P(x) dx

Passo 4

Calculando a integral no expoente:
integral -5x , dx = -52x^2
Então, o fator integrante fica:
mu(x) = e^-52x^2

Passo 5

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
e^-52x^2 y' - 5x e^-52x^2 y = 0
Isso simplifica para:
ddx( y e^-52x^2 ) = 0
A integral de zero é uma constante, então:
y e^-52x^2 = C

Passo 6

Resolvendo para $ y $:
y

Resposta

A solução geral da EDO é:
y = C e^52x^2
onde $ C $ é uma constante arbitrária.

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