Encontre a solução geral de cada EDO abaixo:
y^prime-x y=3 x

Passo 1

O enunciado pede para a gente achar a solução geral da EDO y'-xy=3x. O conteúdo aqui é equação diferencial linear de primeira ordem e vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Identificamos o padrão y'+P(x)y=Q(x). Comparando, temos P(x)=-x e Q(x)=3x. O fator integrante é mu(x)=e^integral P(x),dx=e^integral -x,dx=e^-x^2/2.

Passo 3

Multiplicamos toda a equação por mu(x)=e^-x^2/2:
e^-x^2/2y' - x e^-x^2/2y = 3x e^-x^2/2

Passo 4

Repare que o lado esquerdo é a derivada de e^-x^2/2y, pois
ddxl(e^-x^2/2yr)=e^-x^2/2y' + (e^-x^2/2)'y = e^-x^2/2y' - x e^-x^2/2y

Passo 5

Então integramos ambos os lados:
ddx(e^-x^2/2y)=3x e^-x^2/2

Passo 6

Fazendo a integral do lado direito por substituição u=-x^2/2, du=-x,dx, temos
integral3x e^-x^2/2,dx = -3e^-x^2/2 + C

Passo 7

Logo
e^-x^2/2y = -3e^-x^2/2 + C

Passo 8

Isolando y, obtemos
y = -3 + C e^x^2/2

Resposta

y = C e^x^2/2 - 3

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