Seja F o campo vetorial definido por
F(x, y)=(y cos x, sen x+e^y)
(a) Encontre uma função potencial para F.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial dado por
F(x, y) = (y cos x, sin x + e^y)
e queremos encontrar uma função potencial para esse campo. Isso significa que precisamos encontrar uma função $ φ(x, y) $ tal que suas derivadas parciais correspondam às componentes de $ \mathbf{F} $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial relacionados a campos conservativos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função potencial $ φ(x, y) $ satisfaz:
φ(x, y)
onde $ \mathbf{F} = (M, N) $. No nosso caso, temos:
partial φpartial x = M e partial φpartial y = N
Vamos começar integrando $ M $ em relação a $ x $ para encontrar $ φ(x, y) $.

Passo 3

Integrando $ M = y \cos x $ em relação a $ x $:
M = y cos x
Aqui, $ g(y) $ é uma função que depende somente de $ y $, já que ao derivar $ φ $ em relação a $ x $, qualquer termo que só depende de $ y $ desaparece.

Passo 4

Agora, vamos derivar $ φ(x, y) $ em relação a $ y $ e igualar a $ N $:
φ(x, y)
Comparando os termos, temos:
y

Passo 5

Integrando $ \frac{dg(y)}{dy} = e^{y} $ em relação a $ y $:
dg(y)dy = e^y
Onde $ C $ é a constante de integração. Como estamos procurando uma função potencial geral, podemos ignorar $ C $ ou considerá-lo como parte da função final.

Resposta

A função potencial para $ \mathbf{F} $ é
F

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