Seja
o campo vetorial definido por
(a) Encontre uma função potencial para
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial dado por
e queremos encontrar uma função potencial para esse campo. Isso significa que precisamos encontrar uma função $ φ(x, y) $ tal que suas derivadas parciais correspondam às componentes de $ \mathbf{F} $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial relacionados a campos conservativos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função potencial $ φ(x, y) $ satisfaz:
onde $ \mathbf{F} = (M, N) $. No nosso caso, temos:
Vamos começar integrando $ M $ em relação a $ x $ para encontrar $ φ(x, y) $.
Passo 3
Integrando $ M = y \cos x $ em relação a $ x $:
Aqui, $ g(y) $ é uma função que depende somente de $ y $, já que ao derivar $ φ $ em relação a $ x $, qualquer termo que só depende de $ y $ desaparece.
Passo 4
Agora, vamos derivar $ φ(x, y) $ em relação a $ y $ e igualar a $ N $:
Comparando os termos, temos:
Passo 5
Integrando $ \frac{dg(y)}{dy} = e^{y} $ em relação a $ y $:
Onde $ C $ é a constante de integração. Como estamos procurando uma função potencial geral, podemos ignorar $ C $ ou considerá-lo como parte da função final.
Resposta
A função potencial para $ \mathbf{F} $ é